Planimetria

XLIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt wypukły $ Q $ i prosta $ l $.

(a) Wykazać, że istnieje dokładnie jeden wielokąt $ r $ symetryczny względem $ l $ i taki, że dla każdej prostej $ s $ prostopadłej do $ l $ części wspólne $ s \cap R $ oraz $ s \cap Q $ są odcinkami równej długości, albo zbiorami jednopunktowymi, albo zbiorami pustymi.

(b) Dowieść że wielokąt $ R $ jest wypukły, ma pole równe polu $ Q $ oraz średnica $ R $ jest nie większa od średnicy $ Q $.

Uwaga: Średnicą zbioru $ X $ nazywamy kres górny odległości dowolnych dwóch punktów zbioru $ X $.

XLIII OM - I - Zadanie 2

W kwadracie $ ABCD $ o boku długości $ 1 $ punkt $ E $ leży na boku $ BC $, punkt $ F $ leży na boku $ CD $, miary kątów $ EAB $ i $ EAF $ wynoszą odpowiednio $ 20^{\circ} $ i $ 45^{\circ} $. Obliczyć wysokość, trójkąta $ AEF $ poprowadzoną z wierzchołka $ A $.

XLIV OM - III - Zadanie 2

Punkt $ O $ jest środkiem okręgu $ k $ wpisanego w trapez nierównoramienny $ ABCD $, którego dłuższa podstawa $ AB $ ma środek $ M $. Krótsza podstawa $ CD $ jest styczna do okręgu $ k $ w punkcie $ E $, prosta $ OM $ przecina podstawę $ CD $ w punkcie $ F $. Udowodnić, że $ |DE| = |FC| $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ |AB| = 2\cdot |CD| $.

XLIV OM - II - Zadanie 5

Na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ obrano odpowiednio takie punkty $ D $, $ E $ i $ F $, że okręgi wpisane w trójkąty $ AEF4 $, $ BFD $ i $ CDE $ mają promienie równe $ r_1 $. Okręgi wpisane w trójkąty $ DEF $ i $ ABC $ mają odpowiednio promienie $ r_2 $ i $ r $. Wykazać, że $ r_1+r_2=r $.

XLIV OM - II - Zadanie 2

Dany jest okrąg o środku $ O $ oraz punkt $ P $ leżący na zewnątrz tego okręgu. Przez punkt $ P $ prowadzimy prostą $ l $ przecinającą dany okrąg w punktach $ A $ i $ B $. Niech $ C $ będzie punktem symetrycznym do $ B $ względem prostej $ OP $ i niech m będzie prostą przechodzącą przez punkty $ A $ i $ C $. Wykazać, że wszystkie uzyskane w ten sposób proste $ m $ (odpowiadające różnym wyborom prostej $ l $) mają wspólny punkt.

XLIV OM - I - Zadanie 5

Dana jest półpłaszczyzna oraz punkty $ A $ i $ C $ na jej krawędzi. Dla każdego punktu $ B $ tej półpłaszczyzny rozważamy kwadraty $ ABKL $ i $ BCMN $ leżące na zewnątrz trójkąta $ ABC $. Wyznaczają one odpowiadającą punktowi $ B $ prostą $ LM $. Udowodnić, że wszystkie proste odpowiadające różnym położeniom punktu $ B $ przechodzą przez jeden punkt.

XLIV OM - I - Zadanie 3

Dany jest sześciokąt $ ABCDEF $ mający środek symetrii. Oznaczmy przez $ A' $ punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ EF $, przez $ B' $ - punkt przecięcia prostych $ BC $ i $ AF $, a przez $ C' $ - punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ CD $. Dowieść, że $ |AB| \cdot |BC| \cdot |CD| = |AA'| \cdot |BB'| \cdot |CC'| $.

Rozwiązanie

Dany sześciokąt ma środek symetrii. Jego przeciwległe boki są więc równoległe i równej długości; w szczególności zachodzą związki:

\[<br /> EF\parallel BC, \quad FA \parallel CD, \quad |FA| = |CD|.<br /> \]

Ponieważ punkty $ A' $ i $ B' $ leżą odpowiednio na prostych $ EF $ i $ BC $, a punkty $ B' $ i $ C' $ leżą odpowiednio na prostych $ FA $ i $ CD $, zatem możemy przepisać poprzednie związki równoległości jako

\[<br /> A'F\parallel BB',\quad AB'\parallel C'C.<br /> \]

Z pierwszego z nich wynika, że trójkąt $ A'AF $ jest podobny do trójkąta $ BAB' $, a z drugiego - że trójkąt $ BAB' $ jest podobny do trójkąta $ BC'C $ (rysunek 1). Uzyskujemy w ten sposób proporcje

\[<br /> \frac{|AA'|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AB'|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|BB'|}{|BC|}=\frac{|AB'|}{|C'C|},<br /> \]

które - pomnożone stronami - dają związek

\[<br /> \frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} =\frac{|AF|}{|CC'|}.<br /> \]

Ponieważ zaś $ |AF| = |CD| $, zatem, ostatecznie,

\[<br /> \frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} \cdot \frac{|CC'|}{|CD|}=1.<br /> \]

Warto zauważyć, że rozumowanie jest niezależne od tego, czy sześciokąt $ ABCDEF $ jest wypukły, czy nie (rysunek 1).
om44_1r_img_1.jpg

XLV OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są dwie proste równoległe $ k $ i $ l $ oraz okrąg rozłączny z prostą $ k $. Z punktu $ A $ leżącego na prostej $ k $ prowadzimy dwie styczne do tego okręgu przecinające prostą $ l $ w punktach $ B $, $ C $. Niech $ m $ będzie prostą przechodzącą przez punkt $ A $ i środek odcinka $ BC $. Wykazać, że wszystkie uzyskane w ten sposób proste $ m $ (odpowiadające różnym wyborom punktu $ A $ na prostej $ k $) mają wspólny punkt.

XLV OM - II - Zadanie 5

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boków $ AB $ i $ BC $ tego trójkąta odpowiednio w punktach $ P $, $ Q $. Prosta $ PQ $ przecina dwusieczną kąta $ BAC $ w punkcie $ S $. Udowodnić, że ta dwusieczna jest prostopadła do prostej $ SC $.

XLV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli na sześciokątnym przekroju sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jego środek można opisać okrąg, to przekrój ten jest sześciokątem foremnym.

Subskrybuje zawartość