Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XIV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n-1}.<br /> \]

XIV OM - III - Zadanie 3

Z danego trójkąta wyciąć prostokąt o największym polu.

XIV OM - III - Zadanie 2

W przestrzeni dane są cztery różne punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że trzy odcinki łączące środki odcinków $ AB $ i $ CD $, $ AC $ i $ BD $, $ AD $ i $ BC $ mają wspólny środek.

XIV OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dwie liczby naturalne, których cyframi są same jedynki, są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby ich cyfr są względnie pierwsze.

XIV OM - II - Zadanie 6

Z punktu $ S $ przestrzeni wychodzą $ 3 $ półproste: $ SA $, $ SB $ i $ SC $, z których żadna nie jest prostopadła do obu pozostałych. Przez każdą z tych półprostych poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny zawierającej dwie pozostałe półproste. Dowieść, że poprowadzone płaszczyzny przecinają się wzdłuż jednej prostej $ d $.

XIV OM - II - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych przy wierzchołkach $ A $ i $ B $. Dowieść, że rzuty prostokątne punktu $ C $ na te dwusieczne leżą na jednej prostej.

XIV OM - II - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dany jest czworokąt $ ABCD $ i punkt $ M $. Zbudować równoległobok o środku $ M $ i o wierzchołkach leżących na prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $.

XIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $ p $, $ q $, $ r $ spełniają równości

\[<br /> (1) \qquad p+q + r=1<br /> \]
\[<br /> (2) \qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 0<br /> \]

to dla dowolnych liczb $ a $, $ b $, $ c $ zachodzi równość

\[<br /> (3) \qquad a^2 + b^2 + c^2 = (pa + qb + rc)^2 + (qa + rb + pc)^2 + (ra + pb + qc)^2.<br /> \]
Subskrybuje zawartość