1980-1989

XXXII - II - Zadanie 6

Pola powierzchni podstaw danego ostrosłupa trójkątnego ściętego równe są $ B_1 $ i $ B_2 $. Ostrosłup ten można tak przeciąć płaszczyzną równoległą do podstaw, że w każdą z otrzymanych części można wpisać kulę. Udowodnić, że pole powierzchni bocznej danego ostrosłupa równe jest $ (\sqrt{B_1} + \sqrt{B_2})(\sqrt[4]{B_1} + \sqrt[4]{B_2})^2 $.

XXXII - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są dwa zbiory rozłączne $ A $ i $ B $, z których każdy składa się z $ n $ punktów, przy czym żadne trzy punkty zbioru $ A \cup B $ nie leżą na jednej prostej. Udowodnić, że istnieje zbiór $ n $ rozłącznych odcinków domkniętych, z których każdy ma jeden koniec w zbiorze $ A $, drugi zaś w zbiorze $ B $.

XXXII - II - Zadanie 4

Dane są liczby naturalne $ k, n $. Określamy indukcyjnie dwa ciągi liczb $ (a_j) $ i $ (r_j) $ w sposób następujący:
Krok pierwszy: dzielimy $ k $ przez $ n $ i otrzymujemy iloraz $ a_1 $ i resztę $ r_i $,
krok j-ty: dzielimy $ k+r_{j-1} $ przez $ n $ i otrzymujemy iloraz $ a_j $ i resztę $ r_j $. Obliczyć sumę $ a_1 + \ldots + a_n $.

XXXII - II - Zadanie 3

Udowodnić, że nie istnieje funkcja ciągła $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełniająca Warunek $ f(f(x)) = - x $ dla każdego $ x $.

XXXII - II - Zadanie 2

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $ P $. Prosta styczna do jednego z okręgów w punkcie $ A $ przecina drugi okrąg w punktach $ B $ i $ C $. Udowodnić, że prosta $ PA $ jest dwusieczną kąta $ BPC $.

XXXII - II - Zadanie 1

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_{1981} $, $ y_1, y_2, \ldots, y_{1981} $ takich, że $ \sum_{j=1}^{1981} x_j = 0 $, $ \sum_{j=1}^{1981} y_j = 0 $ zachodzi nierówność

\[<br /> \sqrt{\sum_{j=1}^{1981} (x_j^2+y_j^2)} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{j=1}^{1981} \sqrt{x_j^2+y_j^2}.<br /> \]

XXXII - I - Zadanie 12

Dla danej liczby naturalnej $ n > 1 $ określamy ciąg $ (a_0, a_1, \ldots, a_n) $ jak następuje:

\[<br /> \begin{split}<br /> a_0 &=\frac{1}{2}, \\<br /> a_{k + 1} = a_k + \frac{a_k}{n^2}\quad \text{ dla }\quad k = 0, 1, 2, n - 1.<br /> \end{split}<br /> \]

Udowodnić, że $ a_n < 1 $.

XXXII - I - Zadanie 11

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których prawdziwe jest twierdzenie: Jeśli w wielokącie wypukłym o $ 2n $ bokach wpisanym w koło jest $ n-1 $ par boków równoległych, to pozostałe dwa boki też są równoległe.

XXXII - I - Zadanie 10

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f $ odwzorowujące zbiór wszystkich liczb wymiernych $ \mathbb{Q} $ w siebie spełniające następujące warunki:
a) $ f(1)=2 $,
b) $ f(xy) = f(x)f(y)-f(x+y)+1 $ dla $ x, y \in \mathbb{Q} $.

XXXII - I - Zadanie 9

W przestrzeni dany jest zbiór $ 3n $ punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że zbiór ten można rozbić na $ n $ takich zbiorów trójelementowych $ \{A_i, B_i, C_i\} $, że trójkąty $ A_iB_iC_i $ są parami rozłączne.

Subskrybuje zawartość