1970-1979

XXII OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg nieskończony $\{a_n\}$ . Dowieść, że jeżeli

$ a_n + a_{n+2} > 2a_{n+1} \quad \tex{ dla } \quad n = 1, 2, \ldots, $

to

$ \frac{a_1+a_3+\ldots a_{2n+1}}{n+1} \geq \frac{a_2+a_4+\ldots a_{2n}}{n} $

dla $n = 1, 2, \ldots$ .

Dany jest zbiór liczb $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ . Ze zbioru tego utworzyć 10 podzbiorów parami rozłącznych $N_i = \{a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots a_{i,10}}$ ( $i = 1, 2, \ldots, 10$ ) tak, aby suma iloczynów

$ \sum_{i=10}^{10}\prod_{j=1}^{10} a_{i,j} $

była największa.

XXII OM - II - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów $Z$ o tej własności, że żadne dwie odległości punktów zbioru $Z$ nie są równe. Punkty $A, B$ należące do $Z$ łączymy wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest punktem najbliższym $B$ lub $B$ jest punktem najbliższym $A$ . Udowodnić, że żaden punkt zbioru $Z$ nie będzie połączony z więcej niż pięcioma innymi.

XXII OM - II - Zadanie 3

Danych jest 6 prostych w przestrzeni, z których żadne 3 nie są równoległe, żadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt i żadne 3 nie są zawarte w jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że wśród tych 6 prostych istnieją 3 proste wzajemnie skośne.

XXII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $A, B, C$ są kątami trójkąta, to

$ 1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}. $

XXII OM - II - Zadanie 1

Na ile sposobów można tak wybrać $k$ pól szachownicy $n \times n$ ( $k \leq n$ ), aby żadne dwa z wybranych pól nie leżały ani w jednym wierszu, ani w jednej kolumnie?

XXII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że każdy wielościan wypukły ma ścianę trójkątną lub kąt trójścienny.

XXII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy $2n$ razy monetą. Niech $p_n$ oznacza prawdopodobieństwo, że otrzymamy serię o długości $r > n$ . Udowodnić, że $\lim p_n = 0$ .

XXII OM - I - Zadanie 10

Dana jest tablica o $n$ wierszach i $n$ kolumnach. Liczba znajdująca się w $m$ -tej kolumnie i $k$ -tym wierszu równa jest $n(k - 1) + m$ . Jak należy wybrać $n$ liczb, po jednej z każdego wiersza i każdej kolumny, aby iloczyn tych liczb był największy ?