2008-2009

LX OM - III - Zadanie 1

Każdy z wierzchołków sześciokąta wypukłego jest środkiem koła o promieniu równym
długości nie dłuższego z boków sześciokąta zawierających ten wierzchołek. Udowodnić,
że jeśli część wspólna wszystkich sześciu kół (rozważanych wraz z brzegiem) jest
niepusta, to sześciokąt jest foremny.

LX OM - II - Zadanie 6

Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 3$ wyznaczyć wszystkie ciągi liczb rzeczywistych
$(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ , dla których

$ \sum_{i=1}^n x_i = n \quad \text{ oraz } \sum_{i=1}^n (x_{i-1} -x_i + x_{i+1})^2 = n, $

gdzie przyjmujemy $x_0 = x_n$ i $x_{n+1} = x_1$ .

LX OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n\geqslant 4$ o następującej własności: Spośród dowolnych $n$
różnych 3-elementowych podzbiorów zbioru $n$ -elementowego można wybrać dwa podzbiory, które mają dokładnie
jeden element wspólny.

LX OM - II - Zadanie 4

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o opisanego na czworokącie wypukłym $ABCD$ , którego przekątne
przecinają się w punkcie $E$ . Proste styczne do okręgu o w punktach $C$ i $D$ przecinają się w punkcie
$P$ .

Udowodnić, że $PC = PE$ .

LX OM - II - Zadanie 3

Rozłączne okręgi $o_1$ i $o_2$ o środkach odpowiednio $I_1$ i $I_2$ są styczne do prostej
$k$ odpowiednio w punktach $A_1$ i $A_2$ oraz leżą po tej samej jej stronie. Punkt $C$ leży na odcinku
$I_1I_2$ , przy czym $\meqsuredangle A_1CA_2 =90^{\circ}$ . Dla $i=1,2$ niech $B_i$ będzie punktem różnym od
$A_i$ , w którym prosta $A_iC$ przecina okrąg $o_i$ . Dowieść, że prosta $B_1B_2$ jest styczna do okręgów
$o_1$ i $o_2$ .

LX OM - II - Zadanie 2

Dane są takie liczby całkowite $a$ i $b$ , że $a>b> 1$ oraz liczba $ab +1$ jest podzielna przez $a+b$ ,
zaś liczba $ab-1$ jest podzielna przez $a-b$ .

Wykazać, że $a<b\sqrt{3}$ .

LX OM - II - Zadanie 1

Liczby rzeczywiste $a_1, a_2, \cdots , a_n$ $(n \geqslant 2)$ spełniają warunek
$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n > 0$ . Udowodnić nierówność

$ a_1a_2 \cdots a_{n-1} +(2a_2 -a_1)(2a_3 -a_2) \cdots (2a_n -a_{n-1}) \geqslant 2a_2a_3 \cdots a_n. $

LX OM - I - Zadanie 12

Dana jest liczba pierwsza $p$ . Po lewej stronie tablicy napisano liczby $1, 2, 3, \cdots, p - 1$ ,
zaś po prawej stronie liczbę $0$ . Wykonujemy ciąg $p - 1$ ruchów, z których każdy przebiega
następująco: Wybieramy jedną z liczb napisanych po lewej stronie tablicy, dodajemy ją do wszystkich
pozostałych liczb na tablicy, po czym wymazujemy wybraną liczbę.

Rozstrzygnąć, dla jakich wartości
$p$ można w kolejnych ruchach wybierać liczby w taki sposób, by liczba pozostała na tablicy po
wykonaniu wszystkich ruchów była podzielna przez p.

LX OM - I - Zadanie 11

Udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych
$k>m \geqslant 1$ spełniona jest nierówność

$ \frac{\sqrt[k]{k!}}{\sqrt[m]{m!}} < \frac{k}{m} $

LX OM - I - Zadanie 10

Punkt $P$ jest środkiem krótszego łuku $BC$ okręgu opisanego na
trój kącie $ABC$ , w którym $\measuredangle BAC =60^{\circ}$ . Punkt $M$ jest środkiem
odcinka łączącego środki dwóch okręgów dopisanych do danego trójkąta,
stycznych odpowiednio do boków $AB$ i $AC$ . Wykazać, że $PM =2\cdot BP$