2006-2007

XVIII ZMPB - Zadanie 6

Fredek pisze liczby $1$ , $2$ , $\ldots$ , $n$ w pewnej kolejności, po czym sporządza listę wszystkich takich par $(i,j)$ , że $1\le i<j\le n$ oraz $i$ -ta liczba jest większa od $j$ -tej liczby w jego permutacji. Następnie Fredek wielokrotnie wykonuje następującą operację, dopóki jest możliwa: wybiera parę $(i,j)$ z bieżącej listy, zamienia miejscami liczbę $i$ -tą z liczbą $j$ -tą w bieżącej permutacji, i usuwa parę $(i,j)$ z listy. Wykazać, że Fredek może wybierać pary w takiej kolejności, że po zakończeniu procesu liczby w permutacji będą uporządkowane rosnąco.

XVIII ZMPB - Zadanie 5

Funkcja $f$ , określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $0$ , przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste różne od $1$ . Ponadto

$ f(xy)=f(x)f(-y)-f(x)+f(y) $

dla dowolnych $x,y\ne 0$ , oraz

$ f(f(x))={1\over f({1\over x})} $

dla każdego $x\not\in\{0,1\}$ . Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 4

Niech $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, i niech $S=a_1+a_2+\ldots+a_n$ . Udowodnić, że

$ \begin{split} (2S+n)(2S&+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge \\ &\ge 9\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2. \end{split} $

XVIII ZMPB - Zadanie 3

Niech $F$ , $G$ , $H$ będą takimi wielomianami stopnia co najwyżej $2n+1$ o współczynnikach rzeczywistych, że:

Dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ mamy

$ F(x)\le G(x)\le H(x). $
Istnieją takie różne liczby rzeczywiste $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , że

$ F(x_i)=H(x_i)\qquad\hbox{dla }i=1,2,\ldots,n. $
Istnieje liczba rzeczywista $x_0$ różna od $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , dla której

$ F(x_0)+H(x_0)=2G(x_0). $

Dowieść, że

$ F(x)+H(x)=2G(x) $

dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 2

Ciąg liczb całkowitych $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ nazwiemy dokładnym, jeżeli

$ a_n^2-a_m^2=a_{n-m}a_{n+m} \qquad\hbox{dla }n\ge m. $

Wykazać, że istnieje ciąg dokładny, w którym $a_1=1$ , $a_2=0$ , i wyznaczyć $a_{2007}$ .

XVIII ZMPB - Zadanie 1

Dla dodatniej liczby całkowitej $n$ rozważmy rozbicie zbioru $\{1,2,\ldots,2n\}$ na $n$ podzbiorów dwuelementowych $P_1$ , $P_2$ , $\ldots$ , $P_n$ . W każdym zbiorze $P_i$ niech $p_i$ będzie iloczynem obu elementów zbioru $P_i$ . Udowodnić, że

$ {1\over p_1}+{1\over p_2}+\ldots+{1\over p_n}<1. $

XVIII ZMPB

Zadania z XVIII Zawodów Matematycznych Państw Bałtyckich

Załącznik	Wielkość
XVIII ZMPB - Zadania z rozwiązaniami	198.14 KB

LVIII OM - III - Zadanie 6

Ciąg $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ jest określony przez warunki: $a_0=-1$ oraz

$ a_n+{a_{n-1}\over 2}+{a_{n-2}\over 3}+\ldots+{a_1\over n}+{a_0\over n+1}=0 \qquad\hbox{dla }n\ge 1. $

Wykazać, że $a_n>0$ dla $n\ge 1$ .

LVIII OM - III - Zadanie 5

W czworościanie $ABCD$ spełnione są zależności

$ \begin{split}\measuredangle BAC+\measuredangle BDC & =\measuredangle ABD+\measuredangle ACD, \\ \measuredangle BAD+\measuredangle BCD & =\measuredangle ABC+\measuredangle ADC. \end{split} $

Udowodnić, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi $AB$ i $CD$ .

LVIII OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita $n\ge 1$ . Wyznaczyć liczbę możliwych wartości iloczynu $k\cdot m$ , gdzie $k$ , $m$ są liczbami całkowitymi
spełniającymi nierówności

$ (1) \qquad n^2\le k\le m\le (n+1)^2. $

Czytaj dalej

Olimpiady Matematyczne