Ciągi

XXVI - I - Zadanie 10

Niech $ \alpha $ będzie liczbą niewymierną, $ A_1 $ - punktem okręgu $ S $ o środku $ O $. Rozważmy ciąg nieskończony $ A_n $ punktów okręgu $ S $, w którym punkt $ A_{k+1} $ jest obrazem punktu $ A_k $ w obrocie dookoła punktu $ O $ o kąt $ \alpha m $. Dowieść, że każdy łuk okręgu $ S $ zawiera pewne punkty ciągu $ A_n $.

XXVI - I - Zadanie 7

Niech $ Z $ będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych o wyrazach $ a, b, c $ i niech $ Z_1 $ będzie podzbiorem $ Z $ zawierającym dla każdego $ k $ naturalnego dokładnie jeden ciąg $ k $-wyrazowy.
Tworzymy najmniejszy zbiór $ Z_2 $ o tej własności, że $ Z_2 \supset Z_1 $ oraz, jeżeli pewien ciąg $ k $-wyrazowy należy do $ Z_1 $, to każdy ciąg $ (k+r) $-wyrazowy ($ r = 1, 2, \ldots $) powstający z tego ciągu $ k $-wyrazowego przez dopisanie ciągu $ r $-wyrazowego na początku lub na końcu, należy do $ Z_2 $.
Udowodnić, że dla każdego $ k $ istnieje w $ Z $ ciąg $ k $-wyrazowy nie należący do $ Z_2 $.

XXVI - I - Zadanie 6

Niech $ T_n $ będzie ciągiem liczb całkowitych zdefiniowanym następująco :

\[<br /> T_n=n-1 \quad \text{ dla }n = 1, 2, 3, 4,<br /> \]
\[<br /> (1)\qquad T_{2k-1}= T_{2k-2} + 2^{k-2},<br /> \]
\[<br /> (2)\qquad T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k, \text{ dla } k\geq 3<br /> \]

Dowieść, że

\[<br /> T_{2k-1}=\left[ \frac{12}{7} \cdot 2^{k-1}\right] \text{ dla } A = 1,2,\ldots<br /> \]

i znaleźć wzór dla $ T_{2k} $.

XXVII OM - III - Zadanie 2

Dane są cztery takie ciągi liczb rzeczywistych $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $, $ (d_n) $, że dla
każdego $ n $

\[<br /> \begin{split}<br /> a_{n+1} = a_n + b_n,&\quad b_{n+1} = b_n + c_n,\\<br /> c_{n+1} = c_n + d_n,&\quad d_{n+1} = d_n + a_n.<br /> \end{split}<br /> \]

Udowodnić, że jeżeli dla pewnych $ k, m \geq 1 $ jest $ a_{k+m} = a_m $, $ b_{k+m} = b_m $, $ c_{k+m} = c_m $, to $ a_2=b_2=c_2=d_2 $.

XXVIII - III - Zadanie 3

Rozważmy zbiór $ A = \{0, 1, 2, 3, \ldots, 2^{2n-1}\} $. Dana jest funkcja $ f: A \to A $ taka, że dla każdego ciągu $ (x_0, x_1, \ldots, x_{2n-1}) $ o wyrazach równych 0 lub 1 spełniona jest równość

\[<br /> \begin{split}<br /> f(x_0 + 2x_1 + 2^2x_2 + \ldots + 2^{2n-1}x_{2n-1}) = (1 - x_0) + 2x_1 + \\<br /> + (1 - x_2)\cdot 2^2 + x_3 \cdot 2^3 + \ldots + (1 - x_{2n-2}) \cdot 2^{2n-2} + \\<br /> + x_{2n-1}\cdot 2^{2n-1}.<br /> \end{split}<br /> \]

Udowodnić, że jeżeli liczby $ a_1, a_2, \ldots, a_9 \in A $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to ciąg $ (f(a_1), f(a_2), \ldots, f(a_9)) $ nie jest rosnący.

XXVIII - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ s \geq 3 $ dany jest ciąg kół $ (K_n) $ oraz ciąg $ s $-kątów wypukłych $ (W_n) $ że

\[<br /> K_n \supset W_n \supset K_{n+1} \quad \text{ dla } n = 1,2, \ldots.<br /> \]

Dowieść, że ciąg średnic kół $ K_n $ dąży do zera.

XXVIII - II - Zadanie 1

Niech $ a $ i $ b $ będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ c_1, c_2, \ldots,c_n $ istnieje ciąg $ n $-ele-mentowy $ (x_i) $, którego każdy wyraz równy jest jednej z liczb $ a $ lub $ b $ taki, że

\[<br /> |x_1c_1 + x_2c_2 + \ldots + x_nc_n| \geq \frac{|b-a|}{2}(|c_1|+|c_2|+\ldots+|c_n|).<br /> \]
Subskrybuje zawartość