Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

III OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają równanie

$ (1) \qquad \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} = \frac{1}{ab + bc + ca}, $

to dwie spośród nich są liczbami przeciwnymi.

III OM - II - Zadanie 3

Czy prawdziwe są twierdzenia:

a) jeżeli cztery wierzchołki prostokąta leżą na czterech bokach rombu, to boki prostokąta są równoległe do przekątnych rombu;

b) jeżeli cztery wierzchołki kwadratu leżą na czterech bokach rombu, który nie jest kwadratem, to boki kwadratu są równoległe do przekątnych rombu.

III OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są bokami takiego czworokąta, na którym można opisać koło, i w który można wpisać kolo, to pole $S$ czworokąta wyraża się wzorem

$ S = \sqrt{abcd}. $

III OM - II - Zadanie 1

Znaleźć warunki konieczne i dostateczne, jakie powinny spełniać liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , aby równanie

$ (1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $

miało trzy pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp arytmetyczny.

III OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że pole $S$ czworokąta wpisanego w koło i mającego boki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ wyraża się wzorem

$ S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c)(p - d)}, $

gdzie $2p = a + b + c + d$ .

III OM - I - Zadanie 11

Wykazać, że jeżeli żaden z kątów czworokąta wypukłego $ABCD$ nie jest prosty, to zachodzi równość

$ \frac{\tg A + \tg B + \tg C + \tg D}{\tg A \tg B \tg C \tg D} = \ctg A + \ctg B + \ctg C + \ctg D. $

III OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że w każdym trójkącie promień $R$ koła opisanego i promień $r$ koła wpisanego spełniają nierówność

$ R \geq 2r. $

III OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać równanie

$ (1) \qquad |x| + |x - 1| + |x -2| = a, $

gdzie $a$ oznacza daną liczbę dodatnią.

III OM - I - Zadanie 8

W trójkącie $ABC$ na boku $BC$ leży punkt $M$ , na boku $AC$ leży punkt $N$ , a odcinki $AM$ i $BN$ przecinają się w punkcie $P$ . Mając dane stosunki

$ BM \colon MC = m \textrm{ i } AN \colon NC = n $

obliczyć stosunki $AP \colon PM$ i $BP \colon PN$ .

Niech $a$ , $b$ oznaczają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, $c$ - jego przeciwprostokątną, $r$ - promień koła wpisanego, wreszcie $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ - promienie kół dopisanych tego trójkąta. Dowieść, że:

1) $r + r_a + r_b = r_c$

2) promienie $r$ , $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ wyrażają się jednocześnie liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy boki $a$ , $b$ , $c$ są wyrażone liczbami całkowitymi.

Olimpiady Matematyczne