Funkcje i ich własności

I MEMO - Zadanie 5

Dodatnie liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunki

\[<br /> {1\over 2}\le a,b,c,d\le 2\qquad\hbox{oraz}\qquad abcd=1.<br /> \]

Znaleźć największą możliwą wartość wyrażenia

\[<br /> \Bigl(a+{1\over b}\Bigr)\Bigl(b+{1\over c}\Bigr)<br /> \Bigl(c+{1\over d}\Bigr)\Bigl(d+{1\over a}\Bigr).<br /> \]

LVIII OM - I - Zadanie 12

Wielomian $ W $ o współczynnikach rzeczywistych przyjmuje w przedziale $ \langle a;b\rangle $ (gdzie $ {a<b} $) tylko wartości dodatnie. Udowodnić, że istnieją takie wielomiany $ P $ oraz $ Q_1,Q_2,\ldots,Q_m $, że

\[<br /> W(x)=P(x)^2+(x-a)(b-x)\sum_{i=1}^m Q_i(x)^2<br /> \]

dla każdej liczby rzeczywistej $ x $.

Subskrybuje zawartość