Kombinatoryka i logika

XXV - I - Zadanie 1

W czasie pierwszej wojny światowej toczyła się bitwa w pobliżu pewnego zamku. Jeden z pocisków rozbił stojącą u wejścia do zamku statuą rycerza z piką w ręku. Stało się to ostatniego dnia miesiąca. Iloczyn daty dnia, numeru miesiąca, wyrażonej w stopach długości piki, połowy wyrażonego w latach wieku dowódcy baterii strzelającej do zamku oraz połowy wyrażonego w latach czasu, jaki stała statua, równa sią 451 066. W którym roku postawiono statuę?

XXVI - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę i każdą ścianę tego wielościanu można pomalować na jeden z dwóch kolorów tak, że każde dwie ściany mające wspólną krawędź są różnych kolorów, to suma pól ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian drugiego koloru.

XXVI - I - Zadanie 7

Niech $ Z $ będzie zbiorem wszystkich ciągów skończonych o wyrazach $ a, b, c $ i niech $ Z_1 $ będzie podzbiorem $ Z $ zawierającym dla każdego $ k $ naturalnego dokładnie jeden ciąg $ k $-wyrazowy.
Tworzymy najmniejszy zbiór $ Z_2 $ o tej własności, że $ Z_2 \supset Z_1 $ oraz, jeżeli pewien ciąg $ k $-wyrazowy należy do $ Z_1 $, to każdy ciąg $ (k+r) $-wyrazowy ($ r = 1, 2, \ldots $) powstający z tego ciągu $ k $-wyrazowego przez dopisanie ciągu $ r $-wyrazowego na początku lub na końcu, należy do $ Z_2 $.
Udowodnić, że dla każdego $ k $ istnieje w $ Z $ ciąg $ k $-wyrazowy nie należący do $ Z_2 $.

XXVI - I - Zadanie 1

Na balu były 42 osoby. Pani $ A_1 $ tańczyła z 7 panami, pani $ A_2 $ tańczyła z 8 panami, ..., pani $ A_n $ tańczyła, ze wszystkimi panami. Ilu panów było na balu?

XXVII OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie umieszczono sześć punktów w ten sposób, że każde trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o bokach różnej długości. Udowodnić, że najkrótszy bok pewnego z tych trójkątów jest zarazem najdłuższym bokiem innego z nich.

XXVII OM - I - Zadanie 5

Rozpatrujemy następującą grę dwóch osób Gracz pierwszy losuje żeton z napisaną na nim liczbą naturalną (nazwijmy ją $ n $) i odejmuje od niej wybrany przez siebie dzielnik właściwy $ d $ tej liczby (tzn. dzielnik spełniający nierówność $ 1\leq d<n $). Drugi gracz postępuje podobnie z różnicą $ n - d $, tzn. odejmuje od tej różnicy jej dzielnik właściwy, a następnie otrzymany wynik przekazuje graczowi, pierwszemu. Postępowanie to jest kontynuowane. Gracz, który otrzymał od partnera liczbę 1, przegrywa. Który z grających może zapewnić sobie wygraną, jeżeli gracz pierwszy wylosował
a) żeton z liczbą 1975,
b) żeton z liczbą 1976?

XXVIII - II - Zadanie 6

Jaka jest największa liczba części, na które mogą rozciąć płaszczyznę brzegi $ n $ kwadratów?

XXVIII - I - Zadanie 8

Dowieść, że zbiór $ \{1, 2, \ldots, 2^{s+1}\} $ można tak rozbić na dwa zbiory $ 2s $-elementowe $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2^s}\} $, $ \{y_1, y_2, \ldots, y_{2^s}\} $, że dla każdego naturalnego $ j \leq s $ zachodzi równość

\[<br /> \sum_{i=1}^{2^s} x_i^j = \sum_{i=1}^{2^s} y_i^j.<br /> \]

XXVIII - I - Zadanie 3

Niech $ a $ i $ b $ będą liczbami naturalnymi. Prostokąt o bokach długości $ a $ i $ b $ podzielono prostymi równoległymi do boków na kwadraty jednostkowe. Przez wnętrza ilu kwadratów przechodzi przekątna prostokąta ?

XXIX OM - III - Zadanie 4

Niech $ X $ będzie zbiorem $ n $-elementowym. Udowodnić, że suma liczb elementów zbiorów $ A \cap B $ rozciągnięta na wszystkie pary uporządkowane $ (A, B) $ podzbiorów zbioru $ X $ równa jest $ n\cdot 4^{n-1} $.

Subskrybuje zawartość