Liczby całkowite

XII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą naturalną, to liczba

\[<br /> 2^{4^n} + 5<br /> \]

jest podzielna przez $ 21 $.

XIII OM - II - Zadanie 6

Znaleźć liczbę trzycyfrową o tej własności, że liczba przedstawiona tymi cyframi i w tej samej kolejności, ale przy podstawie numeracji różnej niż $ 10 $, jest dwa razy większa od liczby danej.

XIII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że wszystkie potęgi liczby, której ośmioma cyframi końcowymi są $ 12890625 $, mają też na końcu cyfry $ 12890625 $.

XIII OM - I - Zadanie 2

Ile cyfr mają razem wszystkie liczby naturalne co najwyżej $ m $-cyfrowe?

XIV OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dwie liczby naturalne, których cyframi są same jedynki, są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby ich cyfr są względnie pierwsze.

XIV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a $, $ b $, $ m $ są takimi liczbami całkowitymi, że $ a^2 + 2mb^2 $ jest kwadratem liczby całkowitej, to $ a^2 + mb^2 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Subskrybuje zawartość