Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Liczby rzeczywiste

XII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ spełniają nierówności

$(1) \qquad a + b + c> 0,$

$(2) \qquad ab + bc + ca > 0,$

$(3) \qquad abc > 0,$

to $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ .

XII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli trzy liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , które nie są wszystkie równe zerw, spełniają warunki

$ (1) \qquad a + b + c = abc $

$ (2) \qquad a^2 = bc $

$ a^2 \geq 3 $

XIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $x$ , $y$ , $z$ spełniają równanie

$ (1) \qquad x + y + z = a, $

$ (2) \qquad \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}, $

to co najmniej jedna z nich jest równa $a$ .

XIII OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \left\{ \begin{array}{c} x (x + y + z)^2 = a^4 (yz)^3\\ y (x + y + z)^2 = b^4 (zx)^3\\ z (x + y + z)^2 = c^4 (xy)^3. \end{array}\right. $

XIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $p$ , $q$ , $r$ spełniają równości

$ (1) \qquad p+q + r=1 $

$ (2) \qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 0 $

to dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , $c$ zachodzi równość

$ (3) \qquad a^2 + b^2 + c^2 = (pa + qb + rc)^2 + (qa + rb + pc)^2 + (ra + pb + qc)^2. $

XV OM - II - Zadanie 4

Znaleźć liczby rzeczywiste $x, y, z$ spełniające układ równań

$ \begin{split} (z - x)(x - y) &= a \\ (x - y)(y - z) &= b \\ (y - z)(z - x) &= c \end{split} $

gdzie $a, b, c$ są danymi liczbami rzeczywistymi.

XV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczba naturalną, a kąt $\alpha$ nie jest wielokrotnością $\frac{180^{\circ}}{2^n}$ , to

$ (1) \qquad \frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 4\alpha} + \frac{1}{\sin 8\alpha} + \ldots + = \ctg \alpha - \ctg 2^n \alpha. $

XVI OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że układ warunków

$ (1) \qquad \sqrt{a + b} = \sqrt{a + c} + \sqrt{b + c}, $

$ (2) \qquaad c \neq 0, $

gdzie $a, b, c$ oznaczają liczby rzeczywiste, jest równoważny układowi warunków

$ (I) \qquad a > 0, \quad b > 0, $

$ (II) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0. $

XVIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli liczby $\alpha^2$ , $\beta^2$ , $\alpha\beta$ są wymierne, to istnieją takie liczby wymierne $k$ , $a$ i $b$ , że

$ \alpha^2 = ka^2,\quad \beta^2 = kb^2,\quad \alpha\beta = kab. $

XVIII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania

$ \begin{split} a^2 + b^2 &= cd,\\ c^2 + d^2 &= ab \end{split} $

$ a = b = c = d = 0. $