Nierówności

XV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że nierówność

\[<br /> (1) \qquad \frac{1}{3} \leq \frac{\tan 3\alpha}{\tan \alpha} \leq 3<br /> \]

nie jest prawdziwa dla żadnej wartości $ \alpha $.

XVI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić twierdzenie: długości $ a $, $ b $, $ c $ boków trójkąta i miary łukowe $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ przeciwległych jego kątów spełniają nierówności

\[<br /> (I) \qquad \frac{\pi}{3}\leq \frac{a \alpha + b \beta +c \gamma}{a+b+c}<\frac{\pi}{2}.<br /> \]

XVII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby nieujemne $ x_1, x_2,\ldots,x_n $ ($ n $ - dowolna liczba naturalna) spełniają nierówność
$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n \leq \frac{1}{2} $, to

\[<br /> (1 - x_1)(1 - x_2)\ldots (1-x_n) \geq \frac{1}{2}<br /> \]

XVII OM - I - Zadanie 10

Zadanie 10.
Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c $ spełniają, nierówności

\[<br /> (1) \quad a+b+c>0 \quad \text{ i } \quad (2) \quad abc>0,<br /> \]

to dla każdego naturalnego $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> (3) \qquad a^n + b^n + c^n > 0.<br /> \]

XVIII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że

\[<br /> (1) \qquad \sqrt{3a+1} + \sqrt{2a+3} + \sqrt{17-5a} \leq \sqrt{63},<br /> \]

dla wszystkich wartości $ a $, dla których lewa strona tej nierówności ma sens liczbowy.

XIX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $ a, b, c $, są długościami boków trójkąta, a suma liczb $ x, y, z $ jest równa zeru, to

\[<br /> (1) \qquad a^2yz + b^2zx + c^2xy \leq 0.<br /> \]

XX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a, b, p, q, r, s $, spełniają warunki

\[<br /> (1) \; qr-ps = 1,\quad (2) \; \frac{p}{q} < \frac{a}{b} < \frac{r}{s}<br /> \]

to

\[<br /> b \geq q+s.<br /> \]
Subskrybuje zawartość