Planimetria

IV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że wysokości $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ trójkąta i promienie $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ kół dopisanych spełniają równość

$ \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}. $

IV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że stosunek sumy środkowych każdego trójkąta do jego obwodu zawiera się w przedziale $\left( \frac{3}{4}, 1 \right)$ i że tej własności nie ma żaden przedział węższy.

V OM - III - Zadanie 6

Wewnątrz obręczy o promieniu $2r$ toczy się po tej obręczy bez poślizgu krążek o promieniu $r$ . Jaką linię zakreśla punkt obrany dowolnie na brzegu krążka?

V OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że w trapezie równoramiennym opisanym na kole odcinki łączące punkty styczności boków przeciwległych z kołem przechodzą przez punkt przecięcia przekątnych.

V OM - II - Zadanie 3

Dane są: punkt $A$ , prosta $p$ i okrąg $k$ . Wykreślić trójkąt $ABC$ o kątach $A = 60^\circ$ , $B = 90^\circ$ , którego wierzchołek $B$ leży na prostej $p$ , a wierzchołek $C$ - na okręgu $k$ .

Przekrój łożyska kulkowego składa się z dwóch okręgów współśrodkowych $C$ i $C_1$ , między którymi znajduje się $n$ małych okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ , przy czym każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich i do obu okręgów $C$ i $C_1$ . Mając dany promień $r$ wewnętrznego okręgu $C$ oraz liczbę naturalną $n$ obliczyć promień $x$ okręgu $C_2$ przechodzącego przez punkty styczności okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ i sumę $s$ długości tych łuków okręgów $k_1, k_2, \ldots, k_n$ , które leżą na zewnątrz okręgu $C_2$ .

V OM - I - Zadanie 11

Dane są dwie przecinające się proste $a$ i $b$ . Znaleźć miejsce geometryczne punktu $M$ mającego tę własność, że odległość między rzutami prostokątnymi punktu $M$ na proste $a$ i $b$ jest stała, równa danemu odcinkowi $d$ .

V OM - I - Zadanie 9

Punkty $A, B, C, D, \ldots$ są kolejnymi wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego, przy czym zachodzi związek

$ \frac{1}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}. $

Ile boków ma ten wielokąt?

V OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dana jest prosta $p$ oraz punkty $A$ i $B$ . Znaleźć na prostej $p$ taki punkt $M$ , żeby suma kwadratów $AM^2 + BM^2$ była jak najmniejsza.