Rachunek prawdopodobieństwa

XL OM - II - Zadanie 2

Dla losowo wybranej permutacji $\mathbf{f} = (f_1, \ldots, f_n)$ zbioru $\{1,\ldots, n\}$ oznaczmy przez $X(\mathbf{f})$ największą liczbę $k \leq n$ taką, że $f_i < f_{i+1}$ dla wszystkich numerów $i < k$ . Udowodnić, że wartość oczekiwana zmiennej losowej $X$ wynosi $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$ .

XLI OM - I - Zadanie 11

W urnie znajduje się n kartek ponumerowanych liczbami od 1 do $n$ . Wyciągamy z urny bez zwracania kolejno $k$ kartek; $n$ i $k$ są ustalonymi liczbami naturalnymi, $1 \leq k \leq n$ . Niech $x_i$ będzie numerem $i$ -tej wyciągniętej kartki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu $(0,x_1,\ldots, x_k, 0)$ jest dokładnie jedno maksimum lokalne.

Uwaga. Wyraz ciągu nazywamy maksimum lokalnym, jeśli jest liczbą większą od obu wyrazów sąsiednich.

XLII OM - I - Zadanie 12

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ rozważamy prostopadłościan $K_n$ o krawędziach długości $1,1,n$ oraz zbiór $R_n$ złożony z $4n+1$ punktów: wierzchołków prostopadłościanu $K_n$ oraz punktów dzielących jego dłuższe krawędzie na odcinki długości jednostkowej. Wybieramy ze zbioru $R_n$ losowo trzy różne punkty. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem tego, że wybrane punkty są wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego. Obliczyć $\lim_{n\to \infty} p_n$ .

Uwaga: Trzy punkty współliniowe nie tworzą trójkąta.

XLIII OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba naturalna $n\geq 1$ . Rozważamy tabelę zbudowaną z $n(n+1)/2$ okienek, ustawionych w $n$ rzędach: jedno okienko w pierwszym rzędzie, dwa w drugim itd., $n$ okienek w $n$ -tym rzędzie. W okienka tabeli wpisujemy w sposób losowy liczby od $1$ do $n(n + l )/2$ . Niech $m_k$ będzie największą z liczb w $k$ -tym rzędzie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że $m_1 < m_2 < \ldots < m_n$ .

XLIV OM - I - Zadanie 11

W sześciu różnych okienkach tabeli o wymiarach $n \times n$ stawiamy krzyżyk; wszystkie układy krzyżyków są jednakowo prawdopodobne. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem tego, że w pewnym rzędzie poziomym lub pionowym znajdą się co najmniej dwa krzyżyki. Obliczyć granicę ciągu $(np_n)$ , gdy $n \to \infty$ .

XLVI OM - III - Zadanie 5

Niech $n$ i $k$ będą liczbami naturalnymi. Z urny, w której znajduje się 11 kartek ponumerowanych liczbami od 1 do $n$ , losujemy kartki kolejno po jednej, bez zwracania. Gdy pojawi się kartka o numerze podzielnym przez $k$ , przerywamy losowanie. Dla ustalonego $n$ wyznaczyć te liczby $k \leq n$ , dla których wartość oczekiwana liczby wylosowanych kartek jest równa dokładnie $k$ .

XLVI OM - I - Zadanie 11

Dane są liczby naturalne $n > m > 1$ . Ze zbioru $\{1,2, \ldots ,n\}$ losujemy bez zwracania $m$ liczb. Obliczyć wartość oczekiwaną różnicy między największą a najmniejszą wylosowaną liczbą.

XLVII OM - III - Zadanie 6

Spośród wszystkich permutacji $f$ zbioru $\{1,2, \ldots , n\}$ spełniających warunek

$ f(i) \geq i-1 \quad \text{ dla } i=1, 2, \ldots, n $

wybieramy jedną (każdy wybór jest jednakowo prawdopodobny). Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwemtego, że wybrana permutacja spełnia warunek

$ f(i) \leq i+1 \quad \text{ dla } i=1, 2, \ldots, n $

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których $p_n > \frac{1}{3}$ .

XLVII OM - I - Zadanie 11

W konkursie skoków narciarskich uczestniczy 65 zawodników. Startują oni kolejno, według ustalonego wcześniej porządku. Każdy wykonuje jeden skok. Przyjmujemy, że uzyskane wyniki są różne od zera oraz że każda kolejność końcowa jest jednakowo prawdopodobna. W każdym momencie konkursu liderem nazywamy zawodnika, który do tego momentu uzyskał najlepszy wynik. Oznaczmy przez $p$ prawdopodobieństwo tego, że w czasie całego konkursu dokładnie jeden raz nastąpiła zmiana lidera. Wykazać, że $p > \frac{1}{16}$ .

XLVIII OM - II - Zadanie 5

Rzucamy $k$ kostkami sześciennymi białymi i $m$ czarnymi. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że reszta z dzielenia przez $7$ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach białych jest równa reszcie z dzielenia przez $7$ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach czarnych.

Olimpiady Matematyczne