Stereometria

XII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $A$ , $B$ , $C$ , $D$ są wierzchołkami czworościanu, a $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ , to

$<br /> SD<\frac{AD+BD+CD}{3}<br />$

XIII OM - III - Zadanie 6

Dane są trzy proste $a$ , $b$ , $c$ parami skośne. Gzy można zbudować taki równoległościan, którego krawędzie leżą na prostych $a$ , $b$ , $c$ ?

XIII OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że cztery odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości ścian przeciwległych mają punkt wspólny.

Z punktu $A$ okręgu $k$ poprowadzono odcinek $AB$ prostopadły do płaszczyzny okręgu. Znaleźć miejsce geometryczne rzutu prostokątnego punktu $A$ na prostą przechodzącą przez punkt $B$ i przez punkt $M$ poruszający się po okręgu $k$ .

XIV OM - III - Zadanie 6

Przez wierzchołek kąta trójściennego, w którym żadna krawędź nie jest prostopadła do przeciwległej ściany, poprowadzono w płaszczyźnie każdej ściany prostą prostopadłą do przeciwległej krawędzi. Dowieść, że otrzymane trzy proste leżą w jednej płaszczyźnie.

XIV OM - III - Zadanie 2

W przestrzeni dane są cztery różne punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Dowieść, że trzy odcinki łączące środki odcinków $AB$ i $CD$ , $AC$ i $BD$ , $AD$ i $BC$ mają wspólny środek.

XIV OM - II - Zadanie 6

Z punktu $S$ przestrzeni wychodzą $3$ półproste: $SA$ , $SB$ i $SC$ , z których żadna nie jest prostopadła do obu pozostałych. Przez każdą z tych półprostych poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny zawierającej dwie pozostałe półproste. Dowieść, że poprowadzone płaszczyzny przecinają się wzdłuż jednej prostej $d$ .