Wielomiany

XVI OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli wartość funkcji $ y = ax^2 + bx + c $ dla trzech kolejnych wartości całkowitych zmiennej $ x $ jest liczbą całkowitą, to jest również liczbą całkowitą dla każdej wartości całkowitej $ x $.

XVII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że gdy $ k, m, n $, są dowolnymi liczbami całkowitymi nieujemnymi, to wielomian

\[<br /> P(x) = x^{3k+2} + x^{3m+1} + x^{3n}<br /> \]

jest podzielny przez wielomian $ x^2 + x + 1 $.

XVII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli dwa wielomiany stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych mają wspólny pierwiastek niewymierny, to mają jeszcze drugi wspólny pierwiastek.

XVII OM - I - Zadanie 6

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli współczynniki $ a, b, c, d $ równania stopnia trzeciego $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ są liczbami całkowitymi, przy czym liczba $ ad $ jest nieparzysta, a liczba $ bc $ - parzysta, to równanie nie może mieć trzech pierwiastków wymiernych.

XVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli liczba rzeczywista $ x_1 $ spełnia równanie $ x^3+2px+q = 0 $ ($ p, q $ - dane liczby rzeczywiste), to $ x_1q \leq p^2 $.

XVII OM - I - Zadanie 1

Przedstawić wielomian $ x^5 + x + 1 $ w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

XVIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że wielomian $ x^3 + x + 1 $ jest dzielnikiem wielomianu $ P_n(x) = x^{n + 2} + (x+l)^{2n+1} $ dla każdego całkowitego $ n \geq 0 $.

XIX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że wielomian zmiennej $ x $ o współczynnikach całkowitych, którego wartość bezwzględna dla trzech różnych wartości całkowitych $ x $ równa się 1, nie ma pierwiastków całkowitych.

XIX OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że wielomian $ W $ zmiennej $ x $ określony wzorem

\[<br /> (1) \qquad W(x)=(x - a)^2 (x - b)^2 + l,<br /> \]

gdzie $ a $ i $ b $ oznaczają liczby całkowite, nie jest iloczynem dwóch wielomianów zmiennej $ x $ stopnia dodatniego mających współczynniki całkowite.

Subskrybuje zawartość