Olimpiada Matematyczna

III OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że płaszczyzna, która przechodzi: a) przez środki dwóch krawędzi przeciwległych czworościanu i b) przez środek jednej z pozostałych krawędzi czworościanu, dzieli czworościan na dwie części o równych objętościach.

Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy odrzucimy założenie b)?

III OM - II - Zadanie 5

Pionowy maszt znajdujący się na wieży widać pod największym kątem z takiego punktu ziemi, którego odległość od osi masztu wynosi $a$ ; kąt ten równa się danemu kątowi $\alpha$ . Obliczyć wysokość wieży i wysokość masztu.

III OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają równanie

$ (1) \qquad \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} = \frac{1}{ab + bc + ca}, $

to dwie spośród nich są liczbami przeciwnymi.

III OM - II - Zadanie 3

Czy prawdziwe są twierdzenia:

a) jeżeli cztery wierzchołki prostokąta leżą na czterech bokach rombu, to boki prostokąta są równoległe do przekątnych rombu;

b) jeżeli cztery wierzchołki kwadratu leżą na czterech bokach rombu, który nie jest kwadratem, to boki kwadratu są równoległe do przekątnych rombu.

III OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są bokami takiego czworokąta, na którym można opisać koło, i w który można wpisać kolo, to pole $S$ czworokąta wyraża się wzorem