2000-2009

LII OM - II - Zadanie 5

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Prosta $AI$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$ . Dowieść, że $AI + CD = AC$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\measuredangle B = 60^\circ + \frac{1}{3}\measuredangle C$ .

LII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n \geq 3$ , dla których prawdziwe jest następujące zdanie:

W dowolnym $n$ -wyrazowym ciągu arytmetycznym $a_1, a_2,\ldots,a_n$ , dla którego liczba $1 \cdot a_1 + 2\cdot a_2 +... + n \cdot a_n$ jest wymierna, istnieje wyraz będący liczbą wymierną.

LII OM - II - Zadanie 3

Niech $n \geq 3$ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że dowolny wielomian postaci

$ x^{n}+a_{n-3}x^{n-3}+a_{n-4}x^{n-4}+a_{n-5}x^{n-5}+\ldots+a_{1}x+a_{0}, $

gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych $a_0,a_1,\ldots, a_{n-3}$ jest różny od zera, ma mniej niż $n$ pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

LII OM - II - Zadanie 2

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej, przy czym $AB < BC$ . Punkty $D$ , $E$ są wierzchołkami kwadratu $ABDE$ . Okrąg o średnicy $AC$ przecina prostą $DE$ w punktach $P$ i $Q$ , przy czym punkt $P$ należy do odcinka $DE$ . Proste $AQ$ i $BD$ przecinają się w punkcie $R$ . Udowodnić, że $DP = DR$ .

LII OM - II - Zadanie 1

Dane są liczby naturalne $k$ , $n$ większe od $1$ , przy czym liczba $p = 2k-1$ jest pierwsza. Dowieść, że jeżeli liczba

$ {n \choose 2} - {k \choose 2} $

jest podzielna przez $p$ , to jest ona podzielna przez $p^2$ .

LII OM - I - Zadanie 12

Rozpatrujemy ciągi liczb całkowitych $x_0,x_1,\ldots,x_{2000}$ spełniające warunki

$ x_0 = 0\ \textrm{oraz}\ |x_n| = |x_{n-1} + 1| \ \textrm{dla}\ n = 1,2,\ldots,2000. $

Znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia $|x_1 + x_2 +\ldots + x_{2000}|$ .

LII OM - I - Zadanie 11

Układ liczb całkowitych dodatnich $c_1,c_2,\ldots,c_n$ nazwiemy dopuszczalnym, gdy za pomocą wagi szalkowej i dwóch kompletów odważników o ciężarach $c_1,c_2,\ldots,c_n$ można zważyć dowolny przedmiot o ciężarze będącym liczbą naturalną nie przekraczającą $2(c_1 + c_2 +\ldots + c_n)$ . Dla każdej liczby $n$ wyznaczyć maksymalną sumę $n$ liczb tworzących układ dopuszczalny.