1990-1999

XLII OM - II - Zadanie 6

Równoległościan zawiera kulę o promieniu $r$ i jest zawarty w kuli o promieniu $R$ . Dowieść, że $\frac{R}{r} \geq \sqrt{3}$ .

$P_1, P_2, \ldots, P_n$ są różnymi podzbiorami dwuelementowymi zbioru $\{1,2,\ldots,n\}$ . Zbiory $P_i$ , $P_j$ dla $i\neq j$ mają element wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\{i,j\}$ jest jednym ze zbiorów $P_1, P_2, \ldots, P_n$ . Dowieść, że każda z liczb $1,2,\ldots,n$ jest elementem wspólnym dokładnie dwóch zbiorów spośród $P_1, P_2, \ldots, P_n$ .

XLII OM - II - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie funkcje monotoniczne $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełniające równanie

$ f(4x)-f(3x) = 2x \quad \text{ dla } \quad x \in \mathbb{R}. $

XLII OM - II - Zadanie 3

Dane są liczby całkowite dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ takie, że $a+b = c+d = e+f = 101$ . Udowodnić, że liczby $\frac{ace}{bdf}$ nie można zapisać w postaci ułamka $\frac{m}{n}$ gdzie $m$ , $n$ są liczbami całkowitymi dodatnimi o sumie mniejszej od $101$ .

XLII OM - II - Zadanie 2

Na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio takie punkty $D$ , $E$ , $F$ , że

$ \frac{|DB|}{|DC|} = \frac{|EC|}{|EA|} = \frac{|FA|}{|FB|} $

Dowieść, że jeżeli trójkąt $DEF$ jest równoboczny, to także trójkąt, $ABC$ jest równoboczny.

XLII OM - II - Zadanie 1

Liczby $a_i$ , $b_i$ , $c_i$ , $d_i$ spełniają warunki $0\leq c_i \leq a_i \leq b_i \leq d_i$ oraz $a_i+b_i = c_i+d_i$ dla $i=1,2,\ldots,n$ . Udowodnić, że

$ \prod_{i=1}^n a_i + \prod_{i=1}^n b_i \leq \prod_{i=1}^n c_i + \prod_{i=1}^n d_i $

XLII OM - I - Zadanie 12

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ rozważamy prostopadłościan $K_n$ o krawędziach długości $1,1,n$ oraz zbiór $R_n$ złożony z $4n+1$ punktów: wierzchołków prostopadłościanu $K_n$ oraz punktów dzielących jego dłuższe krawędzie na odcinki długości jednostkowej. Wybieramy ze zbioru $R_n$ losowo trzy różne punkty. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem tego, że wybrane punkty są wierzchołkami trójkąta rozwartokątnego. Obliczyć $\lim_{n\to \infty} p_n$ .

Uwaga: Trzy punkty współliniowe nie tworzą trójkąta.

XLII OM - I - Zadanie 11

Dla danej liczby naturalnej $n>10^3$ oraz każdego $k \in \{1,\ldots, n\}$ rozważamy resztę $r_k$ z dzielenia $2^n$ przez $k$ . Dowieść że $r_1+\ldots r_n > 2n$ .

XLII OM - I - Zadanie 10

Niech $(a_n)$ będzie dowolnym ciągiem liczb naturalnych spełniającym warunki:

$ a_1=1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n +2 \text{ dla } n=1,2,3,\ldots. $

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ iloczyn $a_na_{n+1}$ równa się pewnemu wyrazowi tego ciągu.

XLII OM - I - Zadanie 9

Niech $f$ będzie przekształceniem płaszczyzny mającym następującą własność: dla dowolnej pary punktów $P$ , $Q$ , których odległość $|PQ|$ jest liczbą wymierną, odległość ich obrazów $P' = f(P)$ , $Q'= f(Q)$ spełnia równość $|P'Q'| = |PQ|$ . Udowodnić, że $f$ jest izometrią.