Planimetria

XLV OM - I - Zadanie 11

Trójkąt o obwodzie $ 2p $ jest wpisany w koło o promieniu $ R $ i opisany na kole o promieniu $ r $. Dowieść, że $ p < 2(R + r) $.

XLV OM - I - Zadanie 7

Na zewnątrz czworokąta wypukłego $ ABCD $ budujemy trójkąty podobne $ APB $, $ BQC $, $ CRD $, $ DBA $ w ten sposób, że

\[<br /> |\measuredangle PAB| = |\measuredangle QBC| = |\measuredangle RCD| = |\measuredangle SDA|,<br /> |\measuredangle PBA| = |\measuredangle QCB| = |\measuredangle RDC| = |\measuredangle SAD|·<br /> \]

Dowieść, że jeśli czworokąt $ PQRB $ jest równoległobokiem, to czworokąt $ ABCD $ też jest równoległobokiem.

XLV OM - I - Zadanie 4

Dany jest okrąg o środku $ O $, punkt $ A $ wewnątrz tego okręgu oraz cięciwa $ PQ $, nie będąca średnicą, przechodząca przez $ A $. Proste $ p $ i $ q $ są styczne do rozważanego okręgu odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Prosta $ l $ przechodząca przez punkt $ A $ i prostopadła do $ OA $ przecina proste $ p $ i $ q $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Wykazać, że $ |AK|=|AL| $.

XLV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $ a $, $ b $, $ c $ są długościami boków trójkąta, to

\[<br /> \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} + \frac{1}{a+b-c}.<br /> \]

XLVI OM - III - Zadanie 2

Przekątne pięciokąta wypukłego dzielą ten pięciokąt na pięciokąt i dziesięć trójkątów. Jaka jest maksymalna możliwa do uzyskania liczba trójkątów o równych polach?

XLVI OM - II - Zadanie 5

Okręgi wpisane w ściany $ ABC $ i $ ABD $ czworościanu $ ABCD $ są styczne do krawędzi $ AB $ w tym samym punkcie. Wykazać, że punkty styczności tych okręgów z krawędziami $ AC $, $ BC $ oraz $ AD $, $ BD $ leżą na jednym okręgu.

XLVI OM - II - Zadanie 2

W sześciokącie wypukłym $ ABCDEF $ zachodzą następujące równości: $ |AB| = |BC| $, $ |CD| = |DE| $, $ |EF| = |FA| $. Wykazać, że proste zawierające wysokości trójkątów $ BCD $, $ DEF $ i $ FAB $ poprowadzone odpowiednio z wierzchołków $ C $, $ E $, $ A $ przecinają się w jednym punkcie.

XLVI OM - I - Zadanie 10

Dana jest prosta $ k $ oraz leżące na niej trzy różne punkty. Każdy z nich jest początkiem pary półprostych; wszystkie te półproste leżą w jednej półpłaszczyźnie o krawędzi $ k $. Każda z tych par półprostych wyznacza z każdą inną czworokąt. Dowieść, że jeśli w dwa z tych czworokątów można wpisać okrąg, to również w trzeci można wpisać okrąg.

XLVI OM - I - Zadanie 6

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ obrano punkt $ P $. Proste $ AP $, $ BP $, $ CP $ przecinają boki $ BC $, $ CA $, $ AB $ odpowiednio w punktach $ A' $, $ B' $, $ C' $. Przyjmijmy: $ u=|AP|:|PA'| $, $ v=|BP|:|PB'| $, $ w=|CP|:|PC'| $. Wyrazić iloczyn $ uvw $ przez sumę $ u+v+w $.

XLVI OM - I - Zadanie 3

Czworokąt o bokach $ a $, $ b $, $ e $, $ d $ jest wpisany w okrąg o promieniu $ R $. Wykazać, że jeżeli $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2= 8R^2 $, to w czworokącie tym jeden z kątów jest prosty lub przekątne są prostopadłe.

Subskrybuje zawartość