Planimetria

XLVII OM - III - Zadanie 2

Wewnątrz danego trójkąta $ ABC $ wybrano punkt $ P $ spełniający warunki: $ |\measuredangle PBC|=|\measuredangle PCA| < |\measuredangle PAB| $. Prosta $ BP $ przecina okrąg opisany na trójkącie $ ABC $ w punktach $ B $ i $ E $. Okrąg opisany na trójkącie $ APE $ przecina prostą $ CE $ w punktach $ E $ i $ F $. Udowodnić, że punkty $ A $, $ P $, $ E $, $ F $ są kolejnymi wierzchołkami czworokąta oraz że stosunek pola czworokąta $ APEF $ do pola trójkąta $ ABP $ nie zależy od wyboru punktu $ P $.

XLVII OM - II - Zadanie 2

Okrąg o środku $ O $ wpisany w czworokąt wypukły $ ABCD $ jest styczny do boków $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $, $ N $, przy czym proste $ KL $ i $ MN $ przecinają się w punkcie $ S $. Dowieść, że proste $ BD $ i $ OS $ są prostopadłe.

XLVII OM - I - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dany jest trójkat $ ABC $, w którym $ |\measuredangle CAB| = \alpha > 90^{\circ} $, oraz odcinek $ PQ $, którego środkiem jest punkt $ A $. Dowieść, że

\[<br /> \left( |BP| + |CQ| \right)\cdot \tan \frac{\alpha}{2} \geq |BC|.<br /> \]

XLVII OM - I - Zadanie 4

Prosta styczna do okręgu wpisanego w trójkat równoboczny $ ABC $ przecina boki $ AB $ i $ AC $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Udowodnić, że
$ \frac{|AD|}{|DB|} + \frac{|AE|}{|EC|} = 1 $.

XLVIII OM - I - Zadanie 10

Punkty $ P $, $ Q $ leżą wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ ABC $, przy czym $ |\measuredangle ACP| = |\measuredangle BCQ| $ oraz $ |\measuredangle CAP| = |\measuredangle BAQ| $. Punkty $ D $, $ E $, $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ P $ odpowiednio na boki $ BC $, $ CA $, $ AB $. Dowieść, że kąt $ DEF $ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $ Q $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ BDF $.

XLVIII OM - I - Zadanie 5

Dwusieczne kątów wewnętrznych $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta $ ABC $ przecinają przeciwległe boki odpowiednio w punktach $ D $, $ E $, $ F $, a okrąg opisany na trójkącie $ ABC $ - odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $. Dowieść, że

\[<br /> \frac{|AD|}{|DK|}+\frac{|BE|}{|EL|}+\frac{|CF|}{|FM|}\geq 9.<br /> \]

XLVIII OM - I - Zadanie 2

Punkt $ P $ leży wewnątrz równoległoboku $ ABCD $, przy czym zachodzi równość $ |\measuredangle ABP| = |\measuredangle ADP| $. Wykazać, że $ |\measuredangle PAB| = |\measuredangle PCB| $.

XLIX OM - I - Zadanie 10

Środkowe $ AD $, $ BE $, $ CF $ trójkąta $ ABC $ przecinają się w punkcie $ G $. Na czworokątach $ AFGE $ i $ BDGF $ można opisać okręgi. Wykazać, że trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

XLIX OM - I - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $, w którym $ |AB| > |AC| $, punkt $ D $ jest środkiem boku $ BC $, punkt $ E $ leży na boku $ AC $. Punkty $ P $ i $ Q $ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów $ B $ i $ E $ na prostą $ AD $. Dowieść, że $ |BE| = |AE| + |AC| $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ |AD| = |PQ| $.

XLIX OM - I - Zadanie 2

Proste zawierające wysokości trójkąta $ ABC $, wpisanego w okrąg o środku $ O $, przecinają się w punkcie $ H $, przy czym $ |AO| =|AH| $. Obliczyć miarę kąta $ CAB $.

Subskrybuje zawartość