Olimpiada Matematyczna

XIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że iloczyn dwumianów

$ P(x) = (x^m - 1) (x^{m+1}-1) (x^{m+2}-1) (x^{m+3} - 1)(x^{m+1}- 1) , $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną, jest podzielny przez iloczyn dwumianów

$ Q(x) = (x-1) (x^2 - 1) (x^3 - 1) (x^4 - 1) (x^5 - 1). $

XIV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $a$ , $b$ , $m$ są takimi liczbami całkowitymi, że $a^2 + 2mb^2$ jest kwadratem liczby całkowitej, to $a^2 + mb^2$ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Dany jest ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły $ABCD$ o prostopadłych przekątnych $AC$ i $BD$ , a rzutem prostokątnym wierzchołka 8 na podstawę jest punkt 0 przecięcia przekątnych podstawy. Udowodnić, że rzuty prostokątne punktu O na ściany boczne ostrosłupa leżą na okręgu.

XV OM - III - Zadanie 5

Dany jest kąt ostry i okrąg położony wewnątrz tego kąta. Wyznaczyć na danym okręgu taki punkt $M$ , żeby suma odległości punktu $M$ od ramion kąta była najmniejsza.

XV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli pierwiastki równania $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ , o współczynnikach rzeczywistych, są rzeczywiste, to pierwiastki równania $3x^2 + 2ax + b = 0$ też są rzeczywiste.

XV OM - III - Zadanie 3

Dany jest czworościan $ABCD$ , którego krawędzie $AB, BC, CD, DA$ są styczne do pewnej kuli: Dowieść, że punkty styczności leżą w jednej płaszczyźnie.

XV OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ i $b_1 < b_2 < \ldots < b_n$ , gdzie $n \geq 2$ , to

$ (1) \qquad (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)(b_1 + b_2 + \ldots + b_n) < n(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n). $

XV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że nierówność

$ (1) \qquad \frac{1}{3} \leq \frac{\tan 3\alpha}{\tan \alpha} \leq 3 $

nie jest prawdziwa dla żadnej wartości $\alpha$ .

XV OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że spośród pięciu dowolnych punktów płaszczyzny można wybrać takie trzy punkty, które nie są wierzchołkami trójkąta ostrokątnego.

XV OM - II - Zadanie 5

Dany jest kąt trójścienny o krawędziach $SA$ , $SB$ , $SC$ , którego wszystkie kąty płaskie są ostre, a kąt dwuścienny przy krawędzi $SA$ jest prosty. Dowieść, że przekrój tego trójścianu dowolną płaszczyzną prostopadłą do którejkolwiek krawędzi, w punkcie różnym od wierzchołka $S$ , jest trójkątem prostokątnym.

Olimpiady Matematyczne