Planimetria

XLVIII OM - III - Zadanie 5

Dany jest pięciokąt wypukły $ABCDE$ , w którym $DC = DE$ oraz $\measuredangle DCB =\measuredangle DEA = 90^\circ$ . Niech $F$ będzie punktem boku $AB$ wyznaczonym przez warunek $AF: BF = AE: BC$ . Udowodnić, że $\measuredangle FCE = \measuredangle ADE$ oraz $\measuredangle FEC= \measuredangle BDC$ .

XLVIII OM - II - Zadanie 2

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ i spełnia warunki:

$ \measuredangle PBA = \measuredangle PCA = \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB). $

Udowodnić, że

$ \frac{AC}{AB+PC}=\frac{AB}{AC+PB}. $

XLIX OM - III - Zadanie 5

Punkty $D$ i $E$ leżą na boku $AB$ trójkąta $ABC$ i spełniają warunek

$ \frac{AD}{DB}\cdot\frac{AE}{EB}=\left(\frac{AC}{CB}\right)^2. $

Udowodnić, że $\measuredangle ACD =\measuredangle BCE$ .

XLIX OM - II - Zadanie 2

W trójkącie $ABC$ kąt $BCA$ jest rozwarty oraz $\measuredangle BAC = 2\measuredangle ABC$ . Prosta przechodząca przez punkt $B$ i prostopadła do $BC$ przecina prosta $AC$ w punkcie $D$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Dowieść, ze $\measuredangle AMC = \measuredangle BMD$ .

L OM - III - Zadanie 6

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ zachodzą równości:

$ \measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = 360^\circ ,\qquad \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA}=1. $

Dowieść, że $\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FD}{DE} \cdot \frac{EC}{CA}=1$ .

L OM - III - Zadanie 1

Punkt $D$ leży na boku $BC$ trójkata $ABC$ , przy czym $AD > BC$ . Punkt $E$ leży na boku $AC$ i spełnia warunek

$ \frac{AE}{EC}= \frac{BD}{AD - BC}. $

Udowodnić, że $AD > BE$ .

L OM - II - Zadanie 4

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ i spełnia warunki: $\measuredangle PAB = \measuredangle PCA$ oraz $\measuredangle PAC = \measuredangle PBA$ . Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ . Dowieść, że jeżeli $O \ne P$ , to kąt $APO$ jest prosty.

L OM - II - Zadanie 3

Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Punkty $E$ i $F$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $CD$ , przy czym $AE: EB = CF: FD$ . Punkt $P$ leży na odcinku $EF$ i spełnia warunek $EP: PF = AB: CD$ . Udowodnić, że stosunek pól trójkątów $APD$ i $BPC$ nie zależy od wyboru punktów $E$ i $F$ .

L OM - I - Zadanie 9

Punkty $D$ , $E$ , $F$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ . Okręgi wpisane w trójkąty $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt $DEF$ . Udowodnić, że proste $AD$ , $BE$ , $CF$ przecinają się w jednym punkcie.

L OM - I - Zadanie 6

Przekątne $AC$ i $BD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $P$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Prosta $MP$ przecina bok $CD$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że stosunek pól trójkątów $BCP$ i $ADP$ jest równy stosunkowi długości odcinków $CQ$ i $DQ$ .