Olimpiada Matematyczna

XV OM - II - Zadanie 4

Znaleźć liczby rzeczywiste $x, y, z$ spełniające układ równań

$ \begin{split} (z - x)(x - y) &= a \\ (x - y)(y - z) &= b \\ (y - z)(z - x) &= c \end{split} $

gdzie $a, b, c$ są danymi liczbami rzeczywistymi.

XV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to najmniejszą z tych liczb jest $3$ .

Okrąg podzielono na cztery, nie zachodzące na siebie, luki $AB$ , $BC$ , $CD$ i $DA$ . Dowieść, że odcinek, który łączy środki łuków $AB$ i $CD$ jest prostopadły do odcinka łączącego środki łuków $BC$ i $DA$ .

XV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczba naturalną, a kąt $\alpha$ nie jest wielokrotnością $\frac{180^{\circ}}{2^n}$ , to

$ (1) \qquad \frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 4\alpha} + \frac{1}{\sin 8\alpha} + \ldots + = \ctg \alpha - \ctg 2^n \alpha. $

XV OM - I - Zadanie 12

Czworościan $ABCD$ rozcięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $D$ , przez punkt $M$ krawędzi $AB$ i przez punkt $N$ krawędzi $BC$ . Dowieść, że pole trójkąta $DMN$ jest mniejsze pola któregoś z trójkątów $DAB$ , $DBC$ , $DCA$ .

XV OM - I - Zadanie 11

W trójkącie $ABC$ kąt $A$ wynosi $20^\circ$ , $AB = AC$ . Na bokach $AB$ i $AC$ obrano takie punkty $D$ i $E$ , że $\measuredangle DCB = 60^\circ$ a $\measuredangle EBC = 50^\circ$ . Obliczyć kąt $EDC$ .

XV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć $n$ -ty wyraz ciągu liczb $a_1, a_2, a_n, \ldots$ , w którym $a_1 = 1$ , $a_2 = 3$ , $a_3 = 6$ oraz dla każdego naturalnego $k$

$ (1) \qquad a_{k-3}-3a_{k-2}+3a_{k-1}-a_k=0. $

XV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że iloraz sumy wszystkich dzielników naturalnych liczby calkowitej $n > 1$ przez liczbę tych dzielników jest większy od $\sqrt{n}$ .

XV OM - I - Zadanie 8

Na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu obrać po jednym punkcie w taki sposób, żeby suma kwadratów boków utworzonego przez nie trójkąta była najmniejsza.

XV OM - I - Zadanie 7

Dany jest okrąg i wewnątrz niego punkty $A$ i $B$ . Znaleźć na tym okręgu taki punkt $P$ , żeby kąt $APB$ był oparty na cięciwie $MN$ równej $AB$ . Czy zadanie posiada rozwiązanie, jeżeli dane punkty, lub tylko jeden z nich, leżą na zewnątrz okręgu?

Olimpiady Matematyczne