Planimetria

L OM - I - Zadanie 3

W trójkącie równoramiennym $ABC$ kąt $BAC$ jest prosty. Punkt $D$ leży na boku $BC$ , przy czym $BD = 2\cdot CD$ . Punkt $E$ jest rzutem prostokątnym punktu $B$ na prostą $AD$ . Wyznaczyć miarę kąta $CED$ .

LI OM - III - Zadanie 2

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AC = BC$ . Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ , przy czym $\measuredangle PAB = \measuredangle PBC$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Dowieść, że

$ \measuredangle APM + \measuredangle BPC =180^\circ. $

LI OM - II - Zadanie 4

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ , w którym $AB \neq AC$ . Proste $BI$ i $CI$ przecinają boki $AC$ i $AB$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Wyznaczyć wszystkie miary kąta $BAC$ , dla których może zachodzić równość $DI = EI$ .

LI OM - II - Zadanie 2

Dwusieczna kąta $BAC$ trójkąta $ABC$ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $D$ różnym od $A$ . Punkty $K$ i $L$ są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów $B$ i $C$ na prostą $AD$ . Dowieść, że

$ AD \geq BK + CL. $

LI OM - I - Zadanie 12

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkty $D$ , $E$ , $F$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ . Okręgi opisane na trójkątach $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ przecinają się w punkcie $P$ . Udowodnić, że jeżeli

$ \frac{PD}{PE} = \frac{BD}{AE},\ \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{BF},\ \frac{PF}{PD} = \frac{AF}{CD}, $

to $AD$ , $BE$ , $CF$ są wysokościami trójkąta $ABC$ .

LI OM - I - Zadanie 6

Punkt $X$ leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta $ABC$ , w którym kąt $C$ jest prosty. Punkty $P$ , $Q$ i $R$ są odpowiednio rzutami punktu $X$ na boki $BC$ , $CA$ i $AB$ . Udowodnić, ze równość

$ AR \cdot RB = BP \cdot PC + AQ \cdot QC $

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $X$ leży na boku $AB$ .

LI OM - I - Zadanie 2

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ spełniony jest warunek

$ \measuredangle ACB=2 \measuredangle ABC. $

Punkt $D$ leży na boku $BC$ , przy czym $\measuredangle BAD =\frac{1}{2} \measuredangle ABC$ . Dowieść, że

$ (1)\qquad\frac{1}{BD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}. $

LII OM - III - Zadanie 5

Punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ , przy czym $BK \cdot AD = DL \cdot AB$ . Odcinki $DK$ i $BL$ przecinają się w punkcie P. Wykazać, że $\measuredangle DAP = \measuredangle BAC$ .

LII OM - II - Zadanie 5

Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ . Prosta $AI$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$ . Dowieść, że $AI + CD = AC$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\measuredangle B = 60^\circ + \frac{1}{3}\measuredangle C$ .

LII OM - II - Zadanie 2

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej, przy czym $AB < BC$ . Punkty $D$ , $E$ są wierzchołkami kwadratu $ABDE$ . Okrąg o średnicy $AC$ przecina prostą $DE$ w punktach $P$ i $Q$ , przy czym punkt $P$ należy do odcinka $DE$ . Proste $AQ$ i $BD$ przecinają się w punkcie $R$ . Udowodnić, że $DP = DR$ .