Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XV OM - I - Zadanie 5

Dowieść następujących twierdzeń, w których, $ m $ i $ n $ oznaczają liczby naturalne.
1. Jeżeli $ m > 1 $, a $ m^n-1 $ jest liczbą pierwszą, to $ n $ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.
2. Jeżeli $ n > 1 $, a $ m^n- 1 $ jest liczbą pierwszą, to $ m = 2 $, a $ n $ jest liczbą pierwszą.

XV OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie leży 5 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Dowieść, że wśród nich są cztery punkty będące wierzchołkami czworokąta wypukłego.

XV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że punkty symetryczne do punktu przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $ względem prostych $ AB, BC, CA $ leżą na okręgu opisanym na trójkącie $ ABC $.

XV OM - I - Zadanie 2

Udowodnić następujące dwie cechy podzielności przez 7:
a) Liczba naturalna $ N $ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $ P $ utworzona w taki sposób: pierwszą od lewej strony cyfrę liczby $ N $ mnożymy przez 3 i do wyniku dodajemy drugą cyfrę; otrzymaną liczbę mnożymy przez 3 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.
b) Liczba naturalna $ N $ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $ Q $ utworzona w ten sposób, że ostatnią (od lewej strony) cyfrę liczby $ N $ mnożymy przez 5, do wyniku dodajemy przedostatnią cyfrę, otrzymaną liczbę mnożymy przez 5 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę od końca itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.

XV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> (1) \qquad l^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2<br /> \]

XVI OM - III - Zadanie 5

Punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ dzielą odpowiednio boki $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ w stosunkach $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Obliczyć stosunek pól trójkątów $ A_1B_1C_1 $ i $ ABC $.

XVI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby całkowite $ a $ i $ b $ spełniają równanie

\[<br /> (1) \qquad 2a^2 + a = 3b^2 + b,<br /> \]

to liczby $ a - b $ i $ 2a + 2b + 1 $ są kwadratami liczb całkowitych.

XVI OM - III - Zadanie 3

Na okręgu obrano $ n > 2 $ punktów i każdy z nich połączono odcinkiem z każdym innym. Czy można wykreślić wszystkie te odcinki jednym ciągiem, tzn. tak, żeby koniec pierwszego odcinka był początkiem drugiego, koniec drugiego - początkiem trzeciego itd., i żeby przy tym koniec ostatniego odcinka był początkiem pierwszego?

Subskrybuje zawartość