Planimetria

LII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że wewnątrz dowolnego trójkąta $ ABC $ istnieje punkt $ P $ o następującej własności:

Każda prosta przechodząca przez punkt $ P $ dzieli obwód trójkąta $ ABC $ w takim samym stosunku, w jakim dzieli ona jego pole.

LII OM - I - Zadanie 7

Dany jest trójkąt równoramienny $ ABC $ o kącie prostym przy wierzchołku $ A $. Punkty $ D $ i $ E $ leżą na przeciwprostokątnej $ BC $, przy czym $ \measuredangle DAE = 45^\circ $. Okrąg opisany na trójkącie $ ADE $ przecina boki $ AB $ i $ AC $ odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Dowieść, że $ BP + CQ = PQ $.

LII OM - I - Zadanie 2

Punkty $ D $ i $ E $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ AC $ trójkąta $ ABC $. Odcinki $ AD $ i $ BE $ przecinają się w punkcie $ P $. Punkty $ K $ i $ L $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ AC $, przy czym czworokąt $ CLPK $ jest równoległobokiem. Dowieść, że

\[<br /> \frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}.<br /> \]

LIII OM - III - Zadanie 2

Na bokach $ AC $ i $ BC $ trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty $ ACPQ $ i $ BKLC $ o równych polach. Udowodnić, że środek odcinka $ PL $, punkt $ C $ oraz środek okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $ leżą na jednej prostej.

LIII OM - II - Zadanie 5

Trójkąt $ ABC $, w którym $ \measuredangle A = 90^\circ $, jest podstawą ostrosłupa $ ABCD $. Ponadto zachodzą równości

\[<br /> AD = BD \ \textrm{oraz}\ AB = CD.<br /> \]

Udowodnić, że $ \measuredangle ACD \geq 30^\circ $ .

LIII OM - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ zachodzą równości

\[<br /> \measuredangle ADB = 2 \measuredangle ACB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle BDC = 2\measuredangle BAC.<br /> \]

Udowodnić, że $ AD = CD $.

LIV OM - III - Zadanie 1

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ odcinek $ CD $ jest wysokością. Przez środek $ M $ boku $ AB $ poprowadzono taką prostą przecinającą półproste $ CA $ i $ CB $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $, że $ CK = CL $. Punkt $ S $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ CKL $. Wykazać, że $ SD = SM $.

LIV OM - II - Zadanie 5

Punkt $ A $ leży na zewnątrz okręgu $ o $ o środku $ O $. Z punktu $ A $ poprowadzono dwie proste styczne do okręgu $ o $ odpowiednio w punktach $ B $ i $ C $. Pewna styczna do okręgu $ o $ przecina odcinki $ AB $ i $ AC $ odpowiednio w punktach $ E $ i $ F $. Proste $ OE $ i $ OF $ przecinają odcinek $ BC $ odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Udowodnić, że z odcinków $ BP $, $ PQ $ i $ QC $ można zbudować trójkąt podobny do trójkąta $ AEF $.

LIV OM - II - Zadanie 2

Czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w okrąg $ o $. Dwusieczne kątów $ DAB $ i $ ABC $ przecinają się w punkcie $ P $, a dwusieczne kątów $ BCD $ i $ CDA $ przecinają się w punkcie $ Q $. Punkt $ M $ jest środkiem tego łuku $ BC $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ D $ i $ A $. Punkt $ N $ jest środkiem tego łuku $ DA $ okręgu $ o $, który nie zawiera punktów $ B $ i $ C $. Dowieść, że punkty $ P $ i $ Q $ leżą na prostej prostopadłej do $ MN $.

LIV OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt wypukły $ ABCD $. Punkty $ P $ i $ Q $, różne od wierzchołków czworokąta, leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ CD $, przy czym $ \measuredangle BAP = \measuredangle DAQ $. Udowodnić, że trójkąty $ ABP $ i $ ADQ $ mają równe pola wtedy i tylko wtedy, gdy ich ortocentra leżą na prostej prostopadłej do $ AC $.

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia wysokości.

Subskrybuje zawartość