Olimpiada Matematyczna

XVI OM - III - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli liczby $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami równania
$x^2 + px - 1 = 0$ , gdzie $p$ jest liczbą nieparzystą, to dla każdego naturalnego $n$ liczby $x_1^n + x_2^n$ i $x_1^{n+1} + x_2^{n+1}$ są całkowite i względnie pierwsze.

XVI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić twierdzenie: długości $a$ , $b$ , $c$ boków trójkąta i miary łukowe $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ przeciwległych jego kątów spełniają nierówności

$ (I) \qquad \frac{\pi}{3}\leq \frac{a \alpha + b \beta +c \gamma}{a+b+c}<\frac{\pi}{2}. $

XVI OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że nie istnieje wielościan, którego każdy przekrój płaski jest trójkątem.

XVI OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że kwadrat można podzielić na dowolną większą od 5 liczbę kwadratów, ale nie można go podzielić na 5 kwadratów.

XVI OM - II - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie takie liczby pierwsze $p$ , że $4p^2 +1$ i $6p^2 + 1$ ą również liczbami pierwszymi.

XVI OM - II - Zadanie 3

Dodaj komentarz

XVI OM - II - Zadanie 2

Na bokach $AB, BC, CA$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio punkty $P, M, N$ , różne od wierzchołków trójkąta. Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach $ANP$ , $BPM$ , $CMN$ mają punkt wspólny.

XVI OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że układ warunków

$ (1) \qquad \sqrt{a + b} = \sqrt{a + c} + \sqrt{b + c}, $

$ (2) \qquaad c \neq 0, $

gdzie $a, b, c$ oznaczają liczby rzeczywiste, jest równoważny układowi warunków

$ (I) \qquad a > 0, \quad b > 0, $

$ (II) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0. $

XVI OM - I - Zadanie 12

W przestrzeni dane są dwa wielościany. Dowieść, że najdłuższy z odcinków łączących punkty jednego wielościanu z punktami drugiego ma końce w wierzchołkach wielościanów.

XVI OM - I - Zadanie 11

Udowodnić twierdzenie: Łamana zamknięta o pięciu bokach, której żadne trzy wierzchołki nie leżą na jednej prostej, może przecinać się sama ze sobą w jednym, dwóch, trzech lub pięciu punktach, ale nie może przecinać się ze sobą w czterech punktach.

Olimpiady Matematyczne