Planimetria

LIV OM - I - Zadanie 8

W czworościanie $ABCD$ punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami krawędzi $AB$ i $CD$ . Punkt $P$ leży na odcinku $MN$ , przy czym $MP = CN$ oraz $NP = AM$ . Punkt $O$ jest środkiem sfery opisanej na czworościanie $ABCD$ . Dowieść, że jeżeli $O \neq P$ , to $OP \perp MN$ .

LIV OM - I - Zadanie 6

Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą w tej właśnie kolejności na okręgu $o$ . Punkt $M$ jest środkiem tego łuku $AB$ okręgu $o$ , który nie zawiera punktów $C$ i $D$ ; punkt $N$ jest środkiem tego łuku $CD$ okręgu o, który nie zawiera punktów $A$ i $B$ . Dowieść, że

$ \frac{AN^2-BN^2}{AB}=\frac{DM^2-CM^2}{CD}. $

LIV OM - I - Zadanie 3

Trzy różne punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu $o$ . Proste styczne do okręgu $o$ w punktach $A$ i $B$ przecinają się w punkcie $P$ . Prosta styczna do okręgu $o$ w punkcie $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $Q$ . Udowodnić, że

$ PQ^2 = PB^2 + QC^2. $

LV OM - III - Zadanie 1

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ . Okręgi styczne do prostych $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $A$ i $B$ przechodzą przez punkt $D$ i przecinają się po raz drugi w punkcie $E$ . Niech $F$ będzie punktem symetrycznym do punktu $C$ względem symetralnej odcinka $AB$ . Wykazać, że punkty $D$ , $E$ i $F$ leżą na jednej prostej.

LV OM - II - Zadanie 5

Punkty $D$ i $E$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $CA$ trójkąta $ABC$ , przy czym $BD = AE$ . Odcinki $AD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ . Dwusieczna kąta $ACB$ przecina odcinki $AD$ i $BE$ odpowiednio w punktach $Q$ i $R$ . Wykazać, że

$ \frac{PQ}{AD} = \frac{PR}{BE}. $

LV OM - II - Zadanie 2

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ wszystkie boki są równej długości oraz

$ \measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = \measuredangle B + \measuredangle D + \measuredangle F. $

Dowieść, że przekątne $AD$ , $BE$ i $CF$ przecinają się w jednym punkcie.

LV OM - I - Zadanie 11

Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trapezie równoramiennym $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ . Punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ , przy czym czworokąt KLMN jest rombem. Udowodnić, że punkt $O$ leży na prostej $KM$ .

LV OM - I - Zadanie 4

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ . Rozważamy wszystkie takie trójkąty równoboczne $XYZ$ , że punkty $A$ , $B$ , $C$ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $YZ$ , $ZX$ , $XY$ . Dowieść, że środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $XYZ$ leżą na jednym okręgu.