Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XVI OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli wartość funkcji $ y = ax^2 + bx + c $ dla trzech kolejnych wartości całkowitych zmiennej $ x $ jest liczbą całkowitą, to jest również liczbą całkowitą dla każdej wartości całkowitej $ x $.

XVI OM - I - Zadanie 8

Na krawędziach bocznych graniastosłupa o podstawie trójkątnej $ ABC $ odmierzono odcinki $ AA_1 = p_1 $, $ BB_1 = p_2 $, $ CC_1 = p_3 $. Prosta równoległa do krawędzi bocznych przecina podstawę $ ABC $ w punkcie $ D $, a płaszczyznę $ A_1B_1C_1 $ w punkcie $ D_1 $ Dowieść, że

\[<br /> DD_1 = \frac{p_1S_1 + p_2S_2 + p_3S_3}{S_1+S_2+S_3}<br /> \]

gdzie $ S_1, S_2, S_3 $ oznaczają odpowiednio pola trójkątów $ BCD $, $ CAD $, $ ABD $.

XVI OM - I - Zadanie 7

Na boku $ AB $ trójkąta $ ABC $ obrano punkt $ K $ i wyznaczono na prostych $ AC $ i $ BC $ takie punkty $ M $ i $ N $, że $ KM \perp AC $, $ KN \perp BC $. Przy jakim położeniu punktu $ K $ pole trójkąta $ MKN $ jest największe ?

XVI OM - I - Zadanie 4

Szkoła urządziła trzy wycieczki dla swych 300 uczniów. W każdej wycieczce wzięła udział ta sama liczba uczniów. Każdy uczeń pojechał przynajmniej na jedną wycieczkę, ale połowa uczestników pierwszej, trzecia część uczestników drugiej i czwarta część uczestników trzeciej wycieczki była tylko na jednej wycieczce.
Ilu uczniów pojechało na każdą wycieczkę ? Ilu uczestników pierwszej wycieczki wzięło udział w drugiej a ilu z nich brało nadto udział w trzeciej wycieczce ?

XVI OM - I - Zadanie 3

Przez każdą krawędź kąta trójściennego poprowadzono płaszczyznę zawierającą dwusieczną przeciwległego kąta płaskiego. Dowieść, że poprowadzone trzy płaszczyzny przechodzą przez jedną prostą.

XVI OM - I - Zadanie 2

Przez środek ciężkości $ S $ trójkąta poprowadzono odcinek, którego końce $ M $ i $ N $ leżą na obwodzie trójkąta. Dowieść, że

\[<br /> \frac{1}{2} \leq \frac{MS}{SN} \leq 2.<br /> \]
Subskrybuje zawartość