Planimetria

LVI OM - II - Zadanie 5

Dany jest romb $ ABCD $, w którym $ \measuredangle BAD > 60^{\circ} $. Punkty $ E $ i $ F $ leżą odpowiednio na bokach $ AB $ i $ AD $, przy czym $ \measuredangle ECF = \measuredangle ABD $. Proste $ CE $ i $ CF $ przecinają przekątną $ BD $ odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Wykazać, że

\[<br /> \frac{PQ}{EF}=\frac{AB}{BD}.<br /> \]

LVI OM - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ punkt $ M $ jest środkiem przekątnej $ AC $. Wykazać, że jeżeli

\[<br /> \measuredangle BAD= \measuredangle BMC =\measuredangle CMD<br /> \]

to na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg.

LVI OM - I - Zadanie 11

Okrąg o środku $ I $ jest wpisany w czworokąt wypukły $ ABCD $, przy czym punkt $ I $ nie leży na prostej $ AC $. Przekątne $ AC $ i $ BD $ przecinają się w punkcie $ E $. Prosta przechodząca przez punkt $ E $ oraz prostopadła do prostej $ BD $ przecina proste $ AI $, $ CI $ odpowiednio w punktach $ P $, $ Q $. Wykazać, że $ PE = EQ $.

LVI OM - I - Zadanie 5

Czworokąt $ ABCD $ jest wpisany w okrąg, a okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ BCD $ mają równe promienie. Rozstrzygnąć, czy z tych założeń wynika, że także okręgi wpisane w trójkąty $ CDA $ i $ DAB $ mają równe promienie.

LVI OM - I - Zadanie 3

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ punkt $ D $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C $ na prostą $ AB $. Punkt $ E $ jest rzutem prostokątnym punk-tu $ D $ na prostą $ BC $. Punkt $ F $ leży na odcinku $ DE $, przy czym

\[<br /> \frac{EF}{FD}= \frac{AD}{DB}.<br /> \]

Wykazać, że proste $ CF $ i $ AE $ są prostopadłe.

LVII OM - III - Zadanie 3

Dany jest sześciokąt wypukły $ ABCDEF $, w którym $ AC = DF $, $ CE = FB $ oraz $ EA = BD $. Dowieść, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta przecinają się w jednym punkcie.

LVII OM - II - Zadanie 5

Punkt $ C $ jest środkiem odcinka $ AB $. Okrąg $ o_1 $ przechodzący przez punkty $ A $ i $ C $ przecina okrąg $ o_2 $ przechodzący
przez punkty $ B $ i $ C $ w różnych punktach $ C $ i $ D $. Punkt $ P $ jest środkiem tego łuku $ AD $ okręgu $ o_1 $, który nie zawiera
punktu $ C $. Punkt $ Q $ jest środkiem tego łuku $ BD $ okręgu $ o_2 $, który nie zawiera punktu $ C $. Dowieść, że proste $ PQ $ i $ CD $
są prostopadłe.

LVII OM - II - Zadanie 2

Dany jest trójkąt $ ABC $, w którym $ AC+BC =3AB $. Okrąg o środku $ I $ wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boków
$ BC $ i $ CA $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Niech $ K $ i $ L $ będą punktami symetrycznymi odpowiednio do punktów
$ D $ i $ E $ względem punktu $ I $. Udowodnić, że punkty $ A, B, K, L $ leżą na jednym okręgu.

LVII OM - I - Zadanie 11

W czworokącie $ ABCD $ miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku $ A $ jest większa od $ 180^{\circ} $ oraz zachodzi równość

\[<br /> AB \cdot CD = AD \cdot BC .<br /> \]

Punkt $ P $ jest symetryczny do punktu $ A $ względem prostej $ BD $ Udowodnić, że $ \measuredangle PCB = \measuredangle ACD $.

LVII OM - I - Zadanie 6

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ wysokości przecinają się w punkcie $ H $. Prosta przechodząca przez $ H $ przecina odcinki $ AC $ i $ BC $
odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Prosta przechodząca przez $ H $ i prostopadła do prostej $ DE $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ F $.
Dowieść, że

\[<br /> \frac{DH}{HE} = \frac{AF}{FB}<br /> \]
Subskrybuje zawartość