Planimetria

LVII OM - I - Zadanie 3

Trójkąt ostrokątny $ ABC $ jest wpisany w okrąg o środku $ O $. Punkt $ D $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C $ na prostą $ AB $, a punkty $ E $ i $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ D $ odpowiednio na proste $ AC $ i $ BC $. Wykazać, że pole czworokąta $ EOFC $ jest równe połowie pola trójkąta $ ABC $.

I OM - I - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ kąt $ A $ jest dany. Czy można obliczyć kąty $ B $ i $ C $, gdy wiadomo, że pewna prosta przechodząca przez punkt $ A $ dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne?

I OM - I - Zadanie 3

Zbudować trójkąt równoboczny, którego wierzchołki leżą na trzech danych prostych równoległych.

I OM - B - Zadanie 19

Środki czterech jednakowych kulek leżą na okręgu koła, a środek ciężkości układu tych kulek leży w środku koła. Okazać, że środki kulek są wierzchołkami prostokąta.

I OM - B - Zadanie 15

Dane są dwa przecinające się okręgi o promieniach $ r $ i $ R $. Przez jeden z punktów przecięcia tych okręgów poprowadzić taką
prostą, żeby ta prosta przecięła okręgi jeszcze w dwóch punktach $ p $ i $ Q $ i żebv odcinek $ PQ $ miał daną długość $ d $.

om1_Br_img_8.jpg

III MEMO - Zadanie 10

Czworokąt $ ABCD $ wpisany jest w okrąg, przy czym $ CD=DA $. Na odcinkach $ AB $ i $ BC $ wybrano punkty odpowiednio $ E $ i $ F $, dla których $ \measuredangle ADC=2\measuredangle EDF $. Odcinek $ DK $ jest wysokością trójkąta $ DEF $, zaś $ DM $ jego środkową. Punkt $ L $ jest symetryczny do $ K $ względem $ M $. Wykazać, że proste $ DM $ oraz $ BL $ są równoległe.

III MEMO - Zadanie 9

Niech $ ABCD $ będzie równoległobokiem, w którym $ \measuredangle BAD=60^\circ $. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie $ E $. Okrąg opisany na trójkącie $ ACD $ przecina po raz drugi proste $ BA $, $ BD $, $ BC $ w punktach odpowiednio $ K $, $ P $, $ L $. Prosta $ EP $ przecina okrąg opisany na trójkącie $ CEL $ w punkcie $ M\neq E $. Udowodnić, że trójkąty $ KLM $ i $ CAP $ są przystające.

III MEMO - Zadanie 3

Niech $ ABCD $ będzie czworokątem wypukłym, w którym $ AB=CD $ oraz proste $ AB $ i $ CD $ nie są równoległe. Punkty $ E $ i $ F $ są środkami przekątnych $ AC $ i $ BD $. Prosta $ EF $ przecina odcinki $ AB $ i $ CD $ odpowiednio w punktach $ G $ i $ H $. Udowodnić, że $ \measuredangle AGH=\measuredangle DHG $.

L MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ zachodzi równość $ AB=AC $. Dwusieczne kątów $ CAB $ oraz $ ABC $ przecinają jego boki $ BC $ oraz $ AC $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Punkt $ K $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ADC $. Załóżmy ponadto, że $ \measuredangle BEK=45^\circ $. Wyznaczyć możliwe wartości $ \measuredangle CAB $.

L MOM - Zadanie 2

Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $. Punkty $ P $ oraz $ Q $ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $ CA $ oraz $ AB $. Niech $ K $, $ L $ oraz $ M $ będą odpowiednio środkami odcinków $ BP $, $ CQ $ oraz $ PQ $. Niech ponadto $ \Gamma $ będzie okręgiem przechodzącym przez punkty $ K $, $ L $ oraz $ M $. Załóżmy, że prosta $ PQ $ jest styczna do okręgu $ \Gamma $. Wykazać, że $ OP=OQ $.

Subskrybuje zawartość