Planimetria

IX CPS - Zadanie 4

Dany jest okrąg $ k $ i jego cięciwa $ AB $, nie będąca średnicą. Niech $ C $ będzie dowolnym punktem na dłuższym łuku $ AB $ okręgu $ k $. Oznaczmy przez $ K,L $ odbicia punktów $ A,B $ względem prostych odpowiednio $ BC,AC $. Udowodnić, że odległość między środkami odcinków $ AB $ i $ KL $ nie zależy od wyboru punktu $ C $.

IX CPS - Zadanie 3

Niech $ k $ będzie okręgiem dopisanym do trójkąta $ ABC $, stycznym do boku $ BC $. Wybierzmy prostą $ p $ równoległą do $ BC $, przecinającą odcinki $ AB,AC $ w punktach odpowiednio $ D,E $. Oznaczmy przez $ l $ okrąg wpisany w trójkąt $ ADE $. Styczne do okręgu $ k $ przechodzące przez punkty $ D,E $ i nie zawierające punktu $ A $ przecinają się w punkcie $ P $. Styczne do okręgu $ l $ przechodzące przez punkty $ B,C $ i nie zawierające punktu $ A $ przecinają się w punkcie $ Q $. Dowieść, że prosta $ PQ $ przechodzi przez pewien ustalony punkt, niezależny od wyboru prostej $ p $.

XLVIII MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ ABC $ dwusieczna kąta $ BCA $ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $ R $ różnym od $ C $, symetralną odcinka $ BC $ w punkcie $ P $ oraz symetralną odcinka $ AC $ w punkcie $ Q $. Punkt $ K $ jest środkiem odcinka $ BC $, a punkt $ L $ jest środkiem odcinka $ AC $. Wykazać, że trójkąty $ RPK $ oraz $ RQL $ mają równe pola.

XLVIII MOM - Zadanie 2

Rozpatrzmy takich pięć punktów płaszczyzny $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, że czworokąt $ ABCD $ jest równoległobokiem, a na czworokącie wypukłym $ BCED $ można opisać okrąg. Niech $ \ell $ będzie prostą przechodzącą przez punkt $ A $. Przypuśćmy, że prosta $ \ell $ przecina wnętrze odcinka $ DC $ w punkcie $ F $, a prostą $ BC $ w punkcie $ G $. Niech ponadto $ EF=EG=EC $. Udowodnić, że prosta $ \ell $ jest dwusieczną kąta $ DAB $.

I MEMO - Zadanie 6

Niech $ P $ będzie dowolnym zbiorem pięciu różnych punktów płaszczyzny, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Oznaczmy przez $ a(P) $ liczbę trójkątów ostrokątnych, których wierzchołki należą do zbioru $ P $. Wyznaczyć największą możliwą wartość $ a(P) $.

I MEMO - Zadanie 3

Dany jest okrąg $ k $ oraz okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $, $ k_4 $ o środkach odpowiednio $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $, $ O_4 $ leżących na okręgu $ k $. Dla $ i=1,2,3,4 $ okręgi $ k_i $ oraz $ k_{i+1} $ (gdzie $ k_5=k_1 $) przecinają się w punktach $ A_i $ i $ B_i $ w taki sposób, że $ A_i $ leży na okręgu $ k $. Zakładamy, że punkty $ O_1 $, $ A_1 $, $ O_2 $, $ A_2 $, $ O_3 $, $ A_3 $, $ O_4 $, $ A_4 $ leżą w takiej kolejności na okręgu $ k $ i są parami różne. Wykazać, że czworokąt $ B_1B_2B_3B_4 $ jest prostokątem.

XVIII ZMPB - Zadanie 15

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boku $ AC $ w punkcie $ D $. Inny okrąg przechodzi przez punkt $ D $ i jest styczny do półprostych $ BC $ i $ BA $ - do drugiej z nich w punkcie $ A $. Obliczyć stosunek $ AD/DC $.

XVIII ZMPB - Zadanie 14

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ zachodzi równość $ \measuredangle ADC=90^\circ $. Punkty $ E $ i $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ B $ odpowiednio na proste $ AD $ i $ AC $. Załóżmy, że punkt $ F $ leży między $ A $ i $ C $, punkt $ A $ leży między $ D $ i $ E $, zaś prosta $ EF $ przechodzi przez środek odcinka $ BD $. Dowieść, że na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg.

XVIII ZMPB - Zadanie 12

Punkt $ M $ leży na tym łuku $ AB $ okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, który nie zawiera punktu $ C $. Załóżmy, że rzuty prostokątne punktu $ M $ na proste $ AB $ i $ BC $ leżą na samych bokach, a nie na ich przedłużeniach. Oznaczmy te rzuty odpowiednio przez $ X $ i $ Y $. Niech $ K $ i $ N $ będą odpowiednio środkami odcinków $ AC $ i $ XY $. Dowieść, że $ \measuredangle MNK=90^\circ $.

XVIII ZMPB - Zadanie 11

W trójkącie $ ABC $ odcinki $ AD $, $ BE $ i $ CF $ są wysokościami. Punkty $ P $, $ Q $, $ R $ i $ S $ spełniają następujące warunki:

  1. $ P $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $.

  2. Długości odcinków $ PQ $, $ QR $ i $ RS $ są równe promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $.

  3. Odcinek zorientowany $ PQ $ ma ten sam kierunek i zwrot, co odcinek zorientowany $ AD $. Podobnie, odcinek $ QR $ ma ten sam kierunek i zwrot, co $ BE $, zaś odcinek $ RS $ ma ten sam kierunek i zwrot, co $ CF $.

Wykazać, że punkt $ S $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $.

Subskrybuje zawartość