Olimpiada Matematyczna

XVII OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest okrąg i punkt $M$ . Znaleźć na okręgu takie punkty $A$ i $B$ , żeby odcinek $AB$ miał daną długość $d$ , a kąt $AMB$ był równy danemu kątowi $\alpha$ .

XVII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć miejsce geometryczne środków ciężkości trójkątów ostrokątnych wpisanych w dany okrąg.

XVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli liczba rzeczywista $x_1$ spełnia równanie $x^3+2px+q = 0$ ( $p, q$ - dane liczby rzeczywiste), to $x_1q \leq p^2$ .

XVII OM - I - Zadanie 1

Przedstawić wielomian $x^5 + x + 1$ w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

Dana jest kula i płaszczyzna nie mająca z kulą punktów wspólnych. Znaleźć miejsce geometryczne środków okręgów styczności z kulą tych stożków opisanych na kuli, których wierzchołki leżą na danej płaszczyźnie.

XVIII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków wpisany, w okrąg ma wszystkie kąty równe, to wielokąt ten jest foremny.

XVIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że wielomian $x^3 + x + 1$ jest dzielnikiem wielomianu $P_n(x) = x^{n + 2} + (x+l)^{2n+1}$ dla każdego całkowitego $n \geq 0$ .

XVIII OM - III - Zadanie 3

Na sali znajduje się 100 osób, z których każda zna co najmniej 67 innych. Dowieść, że jest na tej sali taka czwórka osób, w której każde dwie osoby się znają. Zakładamy, że jeśli osoba $A$ zna osobę $B$ , to również osoba $B$ zna osobę $A$ .

XVIII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli punkty $A_1, B_1, C_1$ leżące odpowiednio na bokach $BC, CA, AB$ trójkąta $ABC$ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $P$ trójkąta na te boki, to