Planimetria

LVIII OM - III - Zadanie 1

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego, odcinek $ CD $ jest wysokością, punkt $ E $ leży na boku $ AB $, a punkt $ M $ jest środkiem odcinka $ CE $. Prosta prostopadła do prostej $ OM $ i przechodząca przez punkt $ M $ przecina proste $ AC $, $ BC $ odpowiednio w punktach $ K $, $ L $. Dowieść, że

\[<br /> {LM\over MK}={AD\over DB}.<br /> \]

LVIII OM - II - Zadanie 5

Czworokąt wypukły $ ABCD $, w którym $ AB\ne CD $, jest wpisany\break w okrąg. Czworokąty $ AKDL $ i $ CMBN $ są rombami o bokach długości $ a $. Dowieść, że punkty $ K $, $ L $, $ M $, $ N $ leżą na jednym okręgu.

LVIII OM - II - Zadanie 2

Dany jest pięciokąt wypukły $ ABCDE $, w którym

\[BC=CD,\quad DE=EA,\quad \measuredangle BCD=\measuredangle DEA=90^\circ.<br /> \]

Udowodnić, że z odcinków o długościach $ AC $, $ CE $, $ EB $ można zbudować trójkąt. Wyznaczyć miary jego kątów, znając miarę $ \alpha $ kąta $ ACE $ i miarę $ \beta $ kąta $ BEC $.

LVIII OM - I - Zadanie 10

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $. Punkty $ P $ i $ U $ leżą na boku $ BC $, punkty $ Q $ i $ S $ leżą na boku $ CA $, punkty $ R $ i $ T $ leżą na boku $ AB $, przy czym

\[<br /> \begin{split}<br /> PR\perp BC,\quad<br /> QP\perp CA,\quad<br /> RQ\perp AB, \\<br /> US\perp BC,\quad<br /> ST\perp CA,\quad<br /> TU\perp AB. \\<br /> \end{split}<br /> \]

Dowieść, że trójkąty $ PQR $ i $ STU $ są przystające.

LVIII OM - I - Zadanie 5

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $, w którym $ \angle ACB=45^\circ $. Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, punkt $ H $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $. Prosta przechodząca przez punkt $ O $ i prostopadła do prostej $ CO $ przecina proste $ AC $ i $ BC $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Wykazać, że

\[<br /> OK+KH=OL+LH\,.<br /> \]

LVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ ABCD $, nie będącym równoległobokiem, zachodzi równość $ AB=CD $. Punkty $ M $ i $ N $ są odpowiednio środkami przekątnych $ AC $ i $ BD $. Dowieść, że rzuty prostokątne odcinków $ AB $ i $ CD $ na prostą $ MN $ są odcinkami o jednakowej długości, równej długości odcinka $ MN $.

I OM - B - Zadanie 12

Ile boków ma wielokąt, którego każdy kąt jest $ k $ razy większy od kąta przyległego ? Jakie wartości może przybierać $ k $ ?

I OM - B - Zadanie 11

Słup pionowy o wysokości $ a $, oświetlony promieniami
słonecznymi, rzucił na płaszczyznę; poziomą w pewnym momencie
cień, długości $ a $, w innym momencie cień miał długość $ 2 a $, w trzecim
momencie długość cienia wynosila $ 3 a $. Wykazać, że suma kątów
nachylenia promieni słonecznych do płaszczyzny poziomej w tych
trzech momentach jest równa kątowi prostemu.

I OM - B - Zadanie 8

Dowieść, że wysokości trójkąta ostrokątnego są dwusiecznymi kątów trójkąta, którego wierzchołkami są spodki tych wysokości.

I OM - B - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dane są dwie przecinające się proste
$ a $ i $ b $ i nie leżący na nich punkt $ P $. Poprowadzić przez punkt $ P $
prostą przecinającą proste $ a $ i $ b $ w tahich punktach $ A $ i $ B $, że

\[<br /> PA = 2\cdot PB<br /> \]
Subskrybuje zawartość