Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XVIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, ze punkty $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ ($ n \geq 7 $) znajdujące się na powierzchni kuli leżą wtedy i tylko wtedy na okręgu, gdy płaszczyzny styczne do powierzchni kuli w tych punktach mają punkt wspólny lub są równoległe do jednej prostej.

XVIII OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie leżą dwa trójkąty jeden na zewnątrz drugiego.
Dowieść, że istnieje taka prosta, przechodząca przez dwa wierzchołki jednego trójkąta, że trzeci wierzchołek tego trójkąta oraz drugi trójkąt leżą po przeciwnych stronach tej prostej.

XVIII OM - II - Zadanie 3

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $ A $. Poprowadzono cięciwę $ BC $ większego okręgu styczną do mniejszego w punkcie $ D $. Dowieść, że $ AD $ jest dwusieczną kąta $ BAC $.

XVIII OM - II - Zadanie 2

Na sali znajduje się 100 osób, z których każda zna co najmniej 66 spośród pozostałych 99 osób. Dowieść, iż jest możliwe, że w każdej czwórce tych osób są takie dwie, które się nie znają. Przyjmujemy, że jeśli osoba $ A $ zna osobę $ B $, to również osoba $ B $ zna osobę $ A $.

XVIII OM - II - Zadanie 1

Dany jest ciąg liczb $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ ($ n \geq 3 $), w którym $ a_1 = a_n = 0 $ oraz $ a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_{k+1} $ dla $ k = 2, 3, \ldots, (n - 1) $. Dowieść, że w tym ciągu nie ma wyrazów dodatnich.

XVIII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli punkty $ A, B, C, D, E $ przestrzeni są tak położone, że

\[<br /> (1) \qquad AB = BC = CD = DE = EA,<br /> \]
\[<br /> (2) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle BCD = \measuredangle CDE = \measuredangle DEA = \measuredangle EAB,<br /> \]

to punkty $ A, B, C, D, E $ znajdują się na jednej płaszczyźnie.

XVIII OM - I - Zadanie 11

Dane są trzy okręgi o tym samym promieniu, przecinające się parami i mające jeden punkt wspólny. Dowieść, że pozostałe trzy punkty przecięcia okręgów leżą na okręgu o tymże promieniu.

XVIII OM - I - Zadanie 10

Trójka liczb całkowitych tworzy postęp geometryczny o ilorazie całkowitym. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9, powstanie postęp arytmetyczny. Jakie to liczby?

XVIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli liczby $ \alpha^2 $, $ \beta^2 $, $ \alpha\beta $ są wymierne, to istnieją takie liczby wymierne $ k $, $ a $ i $ b $, że

\[<br /> \alpha^2 = ka^2,\quad \beta^2 = kb^2,\quad \alpha\beta = kab.<br /> \]
Subskrybuje zawartość