1980-1989

XXXII - I - Zadanie 8

Dany jest punkt $P$ wewnątrz kuli ograniczonej sferą $S$ . Przekształcenie $f: S\to S$ jest określone jak następuje: dla punktu $X \in S$ punkt $f(X) \in S$ , $f(X) \neq X$ oraz $P\in \overline{Xf(X)}$ . Udowodnić, że obrazem dowolnego okręgu zawartego w $S$ w przekształceniu $f$ jest okrąg.

XXXII - I - Zadanie 7

Niech $(x_n)$ będzie ciągiem liczb naturalnych spełniających warunki
a) $x_1 < x_2 < x_3 <\ldots$ ,
b) istnieje takie $j \in \mathbb{N}$ , $j > 1$ , że $x_j = j$ ,
c) $x_{kl} = x_kx_l$ , dla względnie pierwszych $k,l \in \mathbb{N}$ .
Wykazać, że $x_n = n$ dla każdego $n$ .

XXXII - I - Zadanie 6

Dane są liczby $a_1\geq a_2 \geq \ldots \geq a_n \geq 0$ spełniające warunek $\sum_{i=1}^n a_i = 1$ . Udowodnić, że istnieją liczby całkowite $k_1\geq k_2 \geq \ldots \geq k_n \geq 0$ takie, że

$ \sum_{i=1}^n k_i = n \quad \text{ i } \quad \frac{k_j}{n}\leq 2a_j \quad \text{ dla } j=1,2,\ldots, n. $

XXXII - I - Zadanie 5

Wykazać, że jeśli $O$ jesl środkiem, $P$ - dowolnym punktem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny $A_lA_2A_3$ różnym od punktu styczności, to

$ \sum_{i=1}^3 \frac{1}{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{A_iP}} =0. $

XXXII - I - Zadanie 4

Na bokach trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano kwadraty $ABED$ , $BCGF$ , $ACHI$ leżące na zewnątrz trójkąta. Udowodnić, że środkowe trójkąta utworzonego przez proste $EF$ , $GH$ , $DI$ są prostopadłe do boków trójkąta $ABC$ .

XXXII - I - Zadanie 3

Na kuli $K$ opisano stożek $S_1$ . Niech $A$ będzie środkiem okręgu styczności stożka z kulą. Przez wierzchołek stożka $S_1$ poprowadzono płaszczyznę $\Pi$ prostopadłą do osi stożka. Na kuli $K$ opisano drugi stożek $S_2$ , którego wierzchołek leży na płaszczyźnie $\Pi$ . Dowieść, że płaszczyzna okręgu styczności stożka $S_2$ z kulą $K$ przechodzi przez punkt $A$ .