1970-1979

XXII OM - I - Zadanie 8

Dany jest sześcian o krawędzi długości 1; niech $S$ oznacza powierzchnię tego sześcianu. Udowodnić, że istnieje taki punkt $A \in S$ , że
1) dla każdego punktu $B \in S$ istnieje łamana łącząca $A$ i $B$ o długości nie większej niż 2 zawarta w $S$ ;
2) istnieje taki punkt $B \in S$ , że nie istnieje łamana łącząca $A$ i $B$ zawarta w $S$ o długości mniejszej niż 2.

XXII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie danych jest pięć punktów kratowych (tzn. punktów o współrzędnych całkowitych). Udowodnić, że środek jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem kratowym.

XXII OM - I - Zadanie 6

Niech $f(x,y,z) = \max(x^2 — yz, y^2 — xz, z^2 — xy)$ . Znaleźć zbiór wartości funkcji $f(x,y,z)$ rozpatrywanej dla liczb $x,y,z$ spełniających warunki:

$<br /> (1) \qquad x^2 + y^2 + z^2 = 5, \; yz + zx + xy = 2, \; x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.<br />$

Uwaga: $\max (a, b, c)$ jest to największa z liczb $a, b, c$ .

XXII OM - I - Zadanie 5

Dana jest liczba naturalna $N$ . Obliczyć liczbę takich ciągów $(x_1, \ldots, x_N)$ , że $x_i = 7$ albo $x_i = —13$ ( $i = 1, \ldots, N$ ) oraz

$<br /> \sum_{i=1}^N x_i = 0.<br />$

XXII OM - I - Zadanie 4

Wyznaczyć kąty, jakie tworzy płaszczyzna przechodząca przez środki trzech skośnych krawędzi sześcianu ze ścianami sześcianu.

XXII OM - I - Zadanie 3

Przez punkt $P$ , należący do płaszczyzny trójkąta $ABC$ , poprowadzono trzy proste prostopadłe odpowiednio do prostych $BC$ , $AC$ i prostej zawierającej środkową $\overline{CE}$ . Udowodnić, że przetną one prostą zawierającą wysokość $CD$ odpowiednio w takich punktach $K, L, M$ , że $KM = LM$ .