1960-1969

XII OM - I - Zadanie 8

W okrąg wpisano dwa trójkąty foremne. Wierzchołki $ A $, $ B $, $ C $ jednego trójkąta następują po sobie na okręgu w tym samym kierunku, co wierzchołki $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ drugiego trójkąta. Proste $ AB $ i $ A_1B_1 $ przecinają się w punkcie $ P $, proste $ BC $ i $ B_1C_1 $ w punkcie $ M $, a proste $ CA $ i $ C_1A_1 $ w punkcie $ N $. Dowieść, że punkty $ M $, $ N $, $ P $ są wierzchołkami trójkąta foremnego.

XII OM - I - Zadanie 7

Dany jest wypukły wycinek kołowy $ AOB $ (O - środek koła). Poprowadzić taką styczną do łuku $ AB $, żeby jej odcinek zawarty w kącie $ AOB $ był podzielony punktem styczności w stosunku $ 1 : 3 $.

XII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli trzy liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, które nie są wszystkie równe zerw, spełniają warunki

\[<br /> (1) \qquad a + b + c = abc<br /> \]
\[<br /> (2) \qquad a^2 = bc<br /> \]

to

\[<br /> a^2 \geq 3<br /> \]

XII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ są wierzchołkami czworościanu, a $ S $ jest środkiem ciężkości trójkąta $ ABC $, to

\[<br /> SD<\frac{AD+BD+CD}{3}<br /> \]

XII OM - I - Zadanie 3

Na płaszczyźnie dany jest okrąg $ K $ i punkt $ A $. Wykreślić taki okrąg $ L $ przechodzący przez punkt $ A $, żeby soczewka będąca wspólną częścią obu kół miała daną średnicę $ a $ i daną grubość $ b $.

XII OM - I - Zadanie 1

Narysowano $ k $ prostych równoległych i przecięto je $ n $ prostymi równoległymi. Ile powstało równoległoboków?

XIII OM - III - Zadanie 6

Dane są trzy proste $ a $, $ b $, $ c $ parami skośne. Gzy można zbudować taki równoległościan, którego krawędzie leżą na prostych $ a $, $ b $, $ c $?

XIII OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną większą od $ 2 $, to

\[<br /> (1) \qquad \sqrt[n + 1]{n+1} < \sqrt[n]{n}.<br /> \]
Subskrybuje zawartość