Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

III OM - II - Zadanie 1

Znaleźć warunki konieczne i dostateczne, jakie powinny spełniać liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , aby równanie

$ (1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $

miało trzy pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp arytmetyczny.

III OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że pole $S$ czworokąta wpisanego w koło i mającego boki $a$ , $b$ , $c$ , $d$ wyraża się wzorem

$ S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c)(p - d)}, $

gdzie $2p = a + b + c + d$ .

III OM - I - Zadanie 11

Wykazać, że jeżeli żaden z kątów czworokąta wypukłego $ABCD$ nie jest prosty, to zachodzi równość

$ \frac{\tg A + \tg B + \tg C + \tg D}{\tg A \tg B \tg C \tg D} = \ctg A + \ctg B + \ctg C + \ctg D. $

III OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że w każdym trójkącie promień $R$ koła opisanego i promień $r$ koła wpisanego spełniają nierówność

$ R \geq 2r. $

III OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać równanie

$ (1) \qquad |x| + |x - 1| + |x -2| = a, $

gdzie $a$ oznacza daną liczbę dodatnią.

III OM - I - Zadanie 8

W trójkącie $ABC$ na boku $BC$ leży punkt $M$ , na boku $AC$ leży punkt $N$ , a odcinki $AM$ i $BN$ przecinają się w punkcie $P$ . Mając dane stosunki

$ BM \colon MC = m \textrm{ i } AN \colon NC = n $

obliczyć stosunki $AP \colon PM$ i $BP \colon PN$ .

Niech $a$ , $b$ oznaczają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, $c$ - jego przeciwprostokątną, $r$ - promień koła wpisanego, wreszcie $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ - promienie kół dopisanych tego trójkąta. Dowieść, że:

1) $r + r_a + r_b = r_c$

2) promienie $r$ , $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ wyrażają się jednocześnie liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy boki $a$ , $b$ , $c$ są wyrażone liczbami całkowitymi.

III OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $u \geq 0$ , $v \geq 0$ , $w \geq 0$ , to zachodzi nierówność

$ (1) \qquad u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw. $

III OM - I - Zadanie 5

Dowieść, ze wielomian

$ x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1 $

jest podzielny przez wielomian $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ .

III OM - I - Zadanie 4

a) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ nie leżące na prostej. Wyznaczyć takie trzy proste wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , żeby odstępy między sąsiednimi prostymi równoległymi były równe.

b) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżące na płaszczyźnie. Wyznaczyć takie cztery płaszczyzny wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , żeby odstępy między sąsiednimi płaszczyznami równoległymi były równe.

Olimpiady Matematyczne