2008-2009

LX OM - I - Zadanie 9

Dana jest tablica $ 2008 \times 2008 $. Dwaj gracze na przemian
wykonują ruchy, z których każdy polega na wybraniu białego albo
czarnego pionka i postawieniu go na wybranym wolnym polu. Wygrywa
ten, którego ruch doprowadził do powstania ciągu 5 kolejnych
pionków tego samego koloru w linii pionowej, poziomej lub ukośnej.

Zbadać, czy istnieje strategia dla gracza rozpoczynającego grę
zapewniająca mu zwycięstwo.

LX OM - I - Zadanie 8

Przekątne podstawy $ ABCD $ ostrosłupa $ ABCDS $ przecinają się pod
kątem prostym w punkcie $ H $, będącym spodkiem wysokości ostrosłupa.
Niech $ K $, $ L $, $ M $, $ N $ będą rzutami prostokątnymi punktu $ H $
odpowiednio na ściany $ ABS $, $ BCS $, $ CDS $, $ DAS $. Dowieść, że proste
$ KL $, $ MN $ i $ AC $ są równoległe lub przecinają się w jednym punkcie.

LX OM - I - Zadanie 7

Ciąg liczb całkowitych $ f_0, f_1, f_2, \cdots $ jest określony
przez warunki: $ f_0 = 0, f_1 = 1 $,

\[<br /> (1) \qquad f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \text{ dla } n =2,3,4, \cdots.<br /> \]

Znaleźć wszystkie wielomiany W o współczynnikach całkowitych,
mające następującą własność: Dla każdego $ n =0, 1, 2, \cdots $
istnieje taka liczba całkowita $ k $, że $ W(k)= f_n $.

LX OM - I - Zadanie 6

Dany jest trójkąt $ ABC $, w którym $ AB = AC $. Na półprostych
$ AB $ i $ AC $ obrano odpowiednio takie punkty $ K $ i $ L $ leżące poza bokami
trójkąta, że

\[<br /> (1)\qquad 4\cdot BK \cdot CL = BC^2.<br /> \]

Punkt $ M $ jest środkiem boku $ BC $. Proste $ KM $ i $ LM $ przecinają
po raz drugi okrąg opisany na trójkącie $ AKL $ odpowiednio
w punktach $ P $ i $ Q $. Wykazać, że proste $ PQ $ i $ BC $ są równoległe.

LX OM - I - Zadanie 5

Dla każdej liczby całkowitej $ n \geqslant 1 $ wyznaczyć największą
możliwą liczbę różnych podzbiorów zbioru $ \{1,2,3, \cdots,n\} $ o
następującej własności: Dowolne dwa z tych podzbiorów są rozłączne
lub jeden z nich zawiera się w drugim.

LX OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych
$ a $, $ b $, $ c $ prawdziwa jest nierówność

\[4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3}) \leqslant 4c^3 +(a+b)^3.\]

LX OM - I - Zadanie 3

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boków $ BC $, $ CA $, $ AB $ odpowiednio w punktach
$ D $, $ E $, $ F $ . Punkty $ M $, $ N $, $ J $ są odpowiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty
$ AEF $ , $ BDF $ , $ DEF $ . Dowieść, że punkty $ F $ i $ J $ są symetryczne względem prostej $ MN $.

LX OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba całkowita $ n \geq 2 $. Niech $ r_1, r_2, r_3, \cdots, r_{n-1} $ będą odpowiednio
resztami z dzielenia liczb

\[<br /> 1, 1+2, 1+2+3, \cdots, 1+2+ \cdots +(n-1)<br /> \]

przez $ n $. Znaleźć wszystkie takie wartości $ n $, że ciąg $ (r_1,r_2,\cdots,r_{n-1}) $ jest permutacją
ciągu $ (1, 2, \cdots,n-1) $.

LX OM - I - Zadanie 1

Na niektórych polach szachownicy rozmiaru $ m\times n $ ustawiono wieże.
Wiadomo, że dowolna wieża znajduje się w polu rażenia co najwyżej
dwóch innych wież.

Wyznaczyć, w zależności od $ m, n \geq 2 $, największą liczbę wież na szachownicy,
dla której taka sytuacja jest możliwa.

Subskrybuje zawartość