2006-2007

LVIII OM - III - Zadanie 3

Płaszczyznę podzielono prostymi poziomymi i pionowymi na kwadraty jednostkowe.
W każdy kwadrat należy wpisać liczbę całkowitą dodatnią tak, by każda
liczba całkowita dodatnia wystąpiła na płaszczyźnie dokładnie raz.
Rozstrzygnąć, czy można to uczynić w taki sposób, aby każda napisana liczba
była dzielnikiem sumy liczb wpisanych w cztery kwadraty sąsiednie.

LVIII OM - III - Zadanie 2

Liczbę całkowitą dodatnią nazwiemy białą, jeżeli jest równa 1
lub jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).
Pozostałe liczby całkowite dodatnie nazwiemy czarnymi.

Zbadać, czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia, że suma jej białych
dzielników jest równa sumie jej czarnych dzielników.

LVIII OM - III - Zadanie 1

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego, odcinek $CD$ jest wysokością, punkt $E$ leży na boku $AB$ , a punkt $M$ jest środkiem odcinka $CE$ . Prosta prostopadła do prostej $OM$ i przechodząca przez punkt $M$ przecina proste $AC$ , $BC$ odpowiednio w punktach $K$ , $L$ . Dowieść, że

$ {LM\over MK}={AD\over DB}. $

LVIII OM - II - Zadanie 6

Liczby dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunek

$ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over d}=4. $

Wykazać, że

$ \root{\scriptstyle 3}\of{{a^3+b^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{b^3+c^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{c^3+d^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{d^3+a^3\over 2}} \le 2(a+b+c+d)-4. $

LVIII OM - II - Zadanie 5

Czworokąt wypukły $ABCD$ , w którym $AB\ne CD$ , jest wpisany\break w okrąg. Czworokąty $AKDL$ i $CMBN$ są rombami o bokach długości $a$ . Dowieść, że punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ leżą na jednym okręgu.

Czytaj dalej

LVIII OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są liczbami całkowitymi dodatnimi oraz $\ ad=b^2+bc+c^2\;,\;$ to liczba

$ a^2+b^2+c^2+d^2$$ $

jest złożona.

LVIII OM - II - Zadanie 3

Z $n^2$ płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku $1$ ułożono trójkąt równoboczny o boku $n$ . Każda płytka jest z jednej strony biała, a z drugiej czarna. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: Wybieramy płytkę $P$ mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki $P$ . Następnie odwracamy płytkę $P$ na drugą stronę.

Dla każdego $n\ge 2$ rozstrzygnąć, czy istnieje początkowe ułożenie płytek, pozwalające wykonać nieskończony ciąg ruchów.

LVIII OM - II - Zadanie 2

Dany jest pięciokąt wypukły $ABCDE$ , w którym

$BC=CD,\quad DE=EA,\quad \measuredangle BCD=\measuredangle DEA=90^\circ. $

Udowodnić, że z odcinków o długościach $AC$ , $CE$ , $EB$ można zbudować trójkąt. Wyznaczyć miary jego kątów, znając miarę $\alpha$ kąta $ACE$ i miarę $\beta$ kąta $BEC$ .

Czytaj dalej

LVIII OM - II - Zadanie 1

Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli wielomiany $P(x)$ oraz $P(P(P(x)))$ mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają także wspólny pierwiastek całkowity.

LVIII OM - I - Zadanie 12

Wielomian $W$ o współczynnikach rzeczywistych przyjmuje w przedziale $\langle a;b\rangle$ (gdzie ${a<b}$ ) tylko wartości dodatnie. Udowodnić, że istnieją takie wielomiany $P$ oraz $Q_1,Q_2,\ldots,Q_m$ , że