Ciągi

XXIX OM - III - Zadanie 5

Dana jest liczba rzeczywista $a$ . Definiujemy ciąg $(a_n)$ w sposób następujący

$ a_1 = a, $

$ a_{n+1} = \begin{cases} \frac{1}{2}\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right), & \mathrm{ jeżeli }a_n \neq 0, \\ 0, &\mathrm{ jeżeli } a_n = 0. \end{cases} $

Udowodnić, że ciąg $(a_n)$ ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych i nieskończenie wiele wyrazów niedodatnich.

Dany jest taki ciąg liczb naturalnych $(a_i)$ , że dla każdej liczby naturalnej $n$ suma tych wyrazów ciągu, które są nie większe od $n$ , jest liczbą nie mniejszą od $n$ . Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $k$ można wybrać z ciągu $(a_i)$ ciąg skończony o sumie wyrazów równej $k$ .

XXIX OM - I - Zadanie 9

Udowodnić, że z każdego ciągu liczb naturalnych można wybrać podciąg, którego każde dwa wyrazy są względnie pierwsze, lub podciąg, którego wszystkie wyrazy mają wspólny dzielnik większy od 1.

XXIX OM - I - Zadanie 8

Niech $(a_n)$ będzie takim ciągiem niemalejącym liczb naturalnych, że ciąg $\left(\frac{n}{a_n}\right)$ jest nieograniczony. Udowodnić, że wśród wyrazów ciągu $\left(\frac{n}{a_n}\right)$ jest nieskończenie wiele liczb całkowitych.

XXIX OM - I - Zadanie 7

Dla ustalonej liczby nąturalnej $n>2$ określamy: $x_1 = n$ , $y_1=1$ , $x_{i+1} = \left[\frac{1}{2}(x_i+y_i)\right]$ , $y_{i+1} = \left[ \frac{n}{x_{i+1}}\right]$ Dowieść że najmniejsza z liczb $x_1 x_2, \ldots, x_n$ jest równa [\sqrt{n}].
Uwaga. $[a]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $a$ .

XXIX OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby naturalnej $k>7$ skonstruować ciąg $S = (a_0, a_1, \ldots, a_{k-1})$ o tej własności, że dla każdego $i$ ( $0 < i < k - 1$ ) $a_i$ równe liczbie wyrazów ciągu $S$ równych $i$ .

XXIX OM - I - Zadanie 1

Ciąg liczb $(p_n)$ określony jest następująco: $p_1 = 2$ , $p_n$ jest największym dzielnikiem pierwszym sumy $p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1$ . Dowieść, że w ciągu $(p_n)$ nie wystąpi liczba 5.

XXX OM - III - Zadanie 4

Dane są liczby rzeczywiste $A > 1$ i $B > 1$ oraz ciąg $(x_n)$ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $(y_n)$ liczb z przedziału $[1, A]$ , że

$ \frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ dla }\quad m,n = 1,2,\ldots . $

XXX OM - I - Zadanie 10

Dane są ciągi wielomianów $(P_n)$ , $(Q_n)$ określone, jak następuje:

$ \begin{split} P_0 = Q_0 &= 1, \\ P_n(x) &= P_{n-1}(x) + x^{2^{n-1}}\cdot Q_{n-1}(x),\\ Q_n(x) &= P_{n-1}(x) - x^{2^{n-1}} \cdot Q_{n-1}(x). \end{split} $

Niech $a_n$ będzie liczbą współczynników wielomianu $P_n$ równych 1. Udowodnić, że istnieje granica $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{2^n}$ i obliczyć ją.

XXXII - II - Zadanie 4

Dane są liczby naturalne $k, n$ . Określamy indukcyjnie dwa ciągi liczb $(a_j)$ i $(r_j)$ w sposób następujący:
Krok pierwszy: dzielimy $k$ przez $n$ i otrzymujemy iloraz $a_1$ i resztę $r_i$ ,
krok j-ty: dzielimy $k+r_{j-1}$ przez $n$ i otrzymujemy iloraz $a_j$ i resztę $r_j$ . Obliczyć sumę $a_1 + \ldots + a_n$ .