Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

III OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $u \geq 0$ , $v \geq 0$ , $w \geq 0$ , to zachodzi nierówność

$ (1) \qquad u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw. $

III OM - I - Zadanie 5

Dowieść, ze wielomian

$ x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1 $

jest podzielny przez wielomian $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ .

a) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ nie leżące na prostej. Wyznaczyć takie trzy proste wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , żeby odstępy między sąsiednimi prostymi równoległymi były równe.

b) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżące na płaszczyźnie. Wyznaczyć takie cztery płaszczyzny wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , żeby odstępy między sąsiednimi płaszczyznami równoległymi były równe.

III OM - I - Zadanie 3

Wykazać, że jeżeli

$ (1) \qquad \frac{a-b}{1+ab} + \frac{b-c}{1+bc} + \frac{c-a}{1+ca} = 0, $

to co najmniej dwie spośród liczb $a$ , $b$ , $c$ są równe.

III OM - I - Zadanie 2

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + z^2 = 19^2\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\\ x - y + z = 11. \end{array} \right. $

III OM - I - Zadanie 1

Do dwóch okręgów poprowadzono wspólną styczną wewnętrzną oraz obie wspólne styczne zewnętrzne. Dowieść, że odcinek stycznej wewnętrznej zawarty między stycznymi zewnętrznymi jest równy odcinkowi stycznej zewnętrznej zawartemu między jej punktami styczności.

IV OM - III - Zadanie 6

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ , gdy spełniona jest równość

$ (1) \qquad \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma? $

IV OM - III - Zadanie 5

Z punktu $O$ wyrusza po prostoliniowej szosie samochód i jedzie ze stałą prędkością $v$ . Do samochodu tego pragnie podać list rowerzysta, który znajduje się w odległości $a$ od punktu $O$ i w odległości $b$ od szosy. Z jaką minimalną prędkością powinien jechać rowerzysta, aby osiągnąć swój cel?

IV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną, to zachodzi równość

$ (1) \qquad (\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1}, $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną.

IV OM - III - Zadanie 3

Przez każdy wierzchołek czworościanu o danej objętości $V$ poprowadzono płaszczyznę równoległą do przeciwległej ściany czworościanu. Obliczyć objętość czworościanu utworzonego przez te płaszczyzny.

Olimpiady Matematyczne