Kombinatoryka i logika

XXIX OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są punkty o współrzędnych całkowitych, z których co najmniej jedna jest niepodzielna przez A. Dowieść, że punktów tych nie można tak połączyć w pary, aby odległość punktów każdej pary była równa 1; to znaczy nieskończonej szachownicy z wyciętymi polami o współrzędnych podzielnych przez 4 nie można pokryć kostkami domina.

XXX OM - I - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $ n $ punktów ($ n > 4 $), z których żadne trzy nie są współliniowe. Udowodnić, że istnieje co najmniej $ \binom{n-3}{2} $ czworokątów wypukłych, których wierzchołkami są pewne z danych punktów.

XXX OM - I - Zadanie 1

Danych jest siedem liczb należących do przedziału, $ [1, 10] $. Udowodnić, że trzy spośród nich są długościami boków pewnego trójkąta.

XXXI - I - Zadanie 10

Płaszczyzną podzielono dwiema rodzinami prostych równoległych na przystające kwadraty. $ S $ jest zbiorem złożonym z $ n $ takich kwadratów. Udowodnić, że istnieje podzbiór zbioru $ S $, w którym liczba kwadratów jest nie mniejsza niż $ \frac{n}{4} $ i żadne dwa kwadraty nie mają wspólnego wierzchołka.

XXXI - I - Zadanie 8

Znaleźć wszystkie podzbiory $ S $ zbioru liczb wymiernych spełniające następujące warunki.
1. Jeśli $ a \in S $, $ b \in S $, to $ a + b \in S $.
2. Jeśli $ a $ jest liczbą wymierną różną od 0, to dokładnie jedna z liczb $ a $ i $ -a $ , należy do $ S $.

XXXI - I - Zadanie 7

Na sferze o promieniu długości 1 obrano 13 punktów. Dowieść, że wśród tych punktów istnieją takie dwa, których odległość jest mniejsza od $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

XXXI - I - Zadanie 5

Znany matematyk profesor Iks grywa ze swoim asystentem magistrem Igrekiem w następującą grę. Iks podaje Igrekowi skończony ciąg wektorów $ \overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \ldots, \overrightarrow{a_n} $; wszystkie te wektory leżą w jednej płaszczyźnie i każdy ma długość 1. Igrek znając te wektory podaje ciąg znaków, tj. ciąg liczb $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n $, $ \varepsilon _j = 1 $ lub $ \varepsilon _j = -1 $ ($ j = 1, 2, \ldots, n $). Następnie gracze rozpatrują ciąg wektorów $ \varepsilon_1 \overrightarrow{a_1} + \varepsilon_2 \overrightarrow{a_2} + \ldots + \varepsilon_k \overrightarrow{a_k} $ ($ k = 1, 2, \ldots, n $). Wygrywa Iks,
jeśli długość choćby jednego z wektorów $ s_1, s_2, \ldots, s_n $ jest większa lub równa 3, w przeciwnym razie wygrywa Igrek. Udowodnić, że Igrek zawsze może tak wybrać ciąg znaków, by wygrać.

XXXII - III - Zadanie 4

Na stole leży $ n $ żetonów oznaczonych liczbami całkowitymi. Jeśli wśród tych żetonów znajdują się dwa oznaczone równymi liczbami, np. liczbą $ k $, to zastępujemy je jednym żetonem z liczbą $ k+1 $ i jednym z liczbą $ k-1 $. Udowodnić, że po skończonej (nieujemnej) liczbie takich zmian wszystkie żetony będą oznaczone różnymi liczbami.

XXXII - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dane są dwa zbiory rozłączne $ A $ i $ B $, z których każdy składa się z $ n $ punktów, przy czym żadne trzy punkty zbioru $ A \cup B $ nie leżą na jednej prostej. Udowodnić, że istnieje zbiór $ n $ rozłącznych odcinków domkniętych, z których każdy ma jeden koniec w zbiorze $ A $, drugi zaś w zbiorze $ B $.

XXXII - I - Zadanie 9

W przestrzeni dany jest zbiór $ 3n $ punktów, z których żadne cztery nie leżą na jednej płaszczyźnie. Udowodnić, że zbiór ten można rozbić na $ n $ takich zbiorów trójelementowych $ \{A_i, B_i, C_i\} $, że trójkąty $ A_iB_iC_i $ są parami rozłączne.

Subskrybuje zawartość