Liczby całkowite

XV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to najmniejszą z tych liczb jest $3$ .

XV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że iloraz sumy wszystkich dzielników naturalnych liczby calkowitej $n > 1$ przez liczbę tych dzielników jest większy od $\sqrt{n}$ .

Dowieść następujących twierdzeń, w których, $m$ i $n$ oznaczają liczby naturalne.
1. Jeżeli $m > 1$ , a $m^n-1$ jest liczbą pierwszą, to $n$ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.
2. Jeżeli $n > 1$ , a $m^n- 1$ jest liczbą pierwszą, to $m = 2$ , a $n$ jest liczbą pierwszą.

XV OM - I - Zadanie 2

Udowodnić następujące dwie cechy podzielności przez 7:
a) Liczba naturalna $N$ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $P$ utworzona w taki sposób: pierwszą od lewej strony cyfrę liczby $N$ mnożymy przez 3 i do wyniku dodajemy drugą cyfrę; otrzymaną liczbę mnożymy przez 3 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.
b) Liczba naturalna $N$ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $Q$ utworzona w ten sposób, że ostatnią (od lewej strony) cyfrę liczby $N$ mnożymy przez 5, do wyniku dodajemy przedostatnią cyfrę, otrzymaną liczbę mnożymy przez 5 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę od końca itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.