Liczby rzeczywiste

XVIII OM - I - Zadanie 5

Znaleźć takie liczby naturalne $p$ i $q$ , żeby pierwiastki równań $x^2-qx+p = 0$ i $x^2-px+q = 0$ były liczbami naturalnymi.

XIX OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{cases} |x + y| &= 1 \\ |x| + |y| &= 1. \end{cases} $

XX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że ośmiokąt, którego wszystkie boki są równe, a wszystkie długości boków są liczbami wymiernymi, ma środek symetrii.

XX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania

$ (1) \; a^2 + b^2 = 1,\quad (2) \; c^2 + d^2 = 1, \quad (3) \; ac + bd = -\frac{1}{2}, $

to

$ (4) \qquad a^2 + ac + c^2 = b^2 + bd + d^2. $

XX OM - I -Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli $a_1, a_2, b_1, b_2$ są liczbami wymiernymi spełniającymi warunki

$ (1) a_1 \neq a_2, \; b_1 \neq b_2, \; (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + 4(a_1-a_2)(b_1-b_2) = 0. $

to liczby

$ 1-a_1b_1, \quad 1-a_2b_2 $

są kwadratami liczb wymiernych.

XX OM - I -Zadanie 8

Udowodnić twierdzenie:
Jeżeli

$ (1) \; \sin x + \sin y + \sin z = 0 \quad \text{i} \quad (2)\; \cos x + \cos y + \cos z = 0, \text{ to} $

$ (2) \; \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z = 0 \quad \text{i} \quad (2)\; \cos 2x + \cos 2y + \cos 2z = 0. $

XX OM - I -Zadanie 6

Rozwiązać równanie

$ (1) \qquad \left[ \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\right] - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2} $

Uwaga: Symbol $[a]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $a$ .

Na stole bilardowym w kształcie kwadratu znajduje się kula. Kulą pchnięto tak, że odbiła się od bandy (kąt padania równa się kątowi odbicia) pod kątem $\alpha$ . Dowieść, że kula będzie sią poruszać po łamanej zamkniętej wtedy i tylko wtedy, gdy $\tan \alpha$ . jest liczbą wymierną. Siłę tarcia oraz wymiary kuli pomijamy.

XXI OM - I -Zadanie 6

Udowodnić, że liczba rzeczywista $a$ jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby całkowite $p > n > m \leq 0$ , że $a + m, a + n, a + p$ tworzą ciąg geometryczny.

XXIII OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że nie istnieją takie liczby rzeczywiste $a, b, c$ , $x_1, x_2, x_3$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $x$

$ \begin{split} ax^2 + bx + c &= a(x - x_2)(x - x_3), \\ (1) \qquad bx^2 + cx + a &= b(x - x_3) (x - x_1),\\ cx^2 + ax + b &= c(x - x_1) (x - x_2) \end{split} $

oraz $x_1 \neq x_2$ , $x_2 \neq x_3$ , $x_3 \neq x_1$ , $abc \neq 0$ .

Olimpiady Matematyczne