Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Nierówności

XX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych min zachodzi nierówność

$ (1) \qquad 1^m + 2^m + \ldots + n^m \geq n\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^m $

XX OM - I -Zadanie 9

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej i dodatniej $n$

$ (1) \qquad \frac{1}{3}n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}} $

XX OM - I -Zadanie 5

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ i naturalnego $n$

$ \frac{a^n + b^n}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2}\right)^n. $

XX OM - I -Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n$ i $b_1, b_2, \ldots, b_n$ są dodatnie, to

$ (1) \; (a_1b_1 + a_2_b2 + \ldots a_nb_n)(\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \ldots + \frac{a_n}{b_n}) \geq (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 $

XXI OM - II -Zadanie 1

Udowodnić, że

$ (1) \qquad |\cos n\beta - \cos n\alpha| \leq n^2 |\cos \beta - \cos\alpha|, $

gdzie $n$ jest liczbą naturalną. Zbadać, dla jakich wartości $n$ , $\alpha$ , $\beta$ zachodzi równość.

Dane są liczby rzeczywiste $M$ , $a_1, a_2, \ldots, a_10$ . Udowodnić, że jeżeli $a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_{10}x_{10} \leq M$ dla wszystkich takich $x_i$ , że $|x_i| = 1$ ( $i = 1, 2, \ldots, 10$ ), to

$ \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{10}^2} \leq M. $

XXII OM - II - Zadanie 5

Dany jest zbiór liczb $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ . Ze zbioru tego utworzyć 10 podzbiorów parami rozłącznych $N_i = \{a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots a_{i,10}}$ ( $i = 1, 2, \ldots, 10$ ) tak, aby suma iloczynów

$ \sum_{i=10}^{10}\prod_{j=1}^{10} a_{i,j} $

była największa.

XXII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $A, B, C$ są kątami trójkąta, to

$ 1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}. $

XXII OM - I - Zadanie 10

Dana jest tablica o $n$ wierszach i $n$ kolumnach. Liczba znajdująca się w $m$ -tej kolumnie i $k$ -tym wierszu równa jest $n(k - 1) + m$ . Jak należy wybrać $n$ liczb, po jednej z każdego wiersza i każdej kolumny, aby iloczyn tych liczb był największy ?