Planimetria

V OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli w czworokącie $ABCD$ zachodzi równość $AB + CD = AD + BC$ , to okręgi wpisane w trójkąty $ABC$ i $ACD$ są styczne.

Na płaszczyźnie dana jest prosta $m$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące po przeciwnych stronach prostej $m$ . Znaleźć na prostej $m$ taki punkt $M$ , żeby różnica odległości tego punktu od punktów $A$ i $B$ była jak największa.

VI OM - III - Zadanie 3

W okrąg wpisano trójkąt równoboczny $ABC$ ; dowieść, że jeżeli $M$ jest dowolnym punktem okręgu, to jedna z odległości $MA$ , $MB$ , $MC$ jest równa sumie dwóch pozostałych.

VI OM - II - Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ABC$ . Znaleźć prostokąt o najmniejszym polu zawierający ten trójkąt.

VI OM - II - Zadanie 4

Wewnątrz trójkąta $ABC$ dany jest punkt $P$ ; znaleźć na obwodzie tego trójkąta taki punkt $Q$ , żeby łamana $APQ$ dzieliła trójkąt na dwie części o równych polach.

VI OM - II - Zadanie 3

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, żeby można było zbudować trójkąt o bokach równych wysokości, podstawie i jednemu z pozostałych boków tego trójkąta równoramiennego?

VI OM - I - Zadanie 12

W jakiej części trójkąta równobocznego powinien leżeć punkt $P$ , aby z odcinków równych odległościom tego punktu od boków trójkąta można było zbudować trójkąt?

VI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że w trójkącie ostrokątnym suma odległości ortocentrum (tzn. punktu przecięcia wysokości) od wierzchołków jest dwa razy większa od sumy promieni kół opisanego i opisanego.

VI OM - I - Zadanie 8

Dowieść, że w trapez można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi, których średnicami są boki nierównoległe trapezu, są do siebie styczne zewnętrznie.

VI OM - I - Zadanie 7

Na środkowej $CM$ trójkąta $ABC$ obrano punkt $N$ i poprowadzono prostą $AN$ przecinającą bok $BC$ w punkcie $Q$ oraz prostą $BN$ przecinającą bok $AC$ w punkcie $P$ . Dowieść, że prosta $PQ$ jest równoległa do prostej $AB$ .